2024년 10월 21번

21. 두 자연수 $a,b$$a,~b$에 대하여 함수 $f(x)$$f(x)$는 $\begin{array}{c}f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{4}{x-3}+a& (x<2)\\ |5{\log }_{2}x-b|& (x\ge 2)\end{array}\end{array}$$f(x)=\begin{cases} \cfrac 4{x-3}+a&(x<2)\\ |5\log_2 x-b| &(x\ge 2)\end{cases}$이다. 실수 $t$$t$에 대하여 $x$$x$에 대한 방정식 $f(x)=t$$f(x)=t$의 서로 다른 실근의 개수를 $g(t)$$g(t)$라 하자. 함수 $g(t)$$g(t)$가 다음 조건을 만족시킬 때, $a+b$$a+b$의 최솟값을 구하시오.

(가) 함수 $g(t)$$g(t)$의 치역은 $\{0,1,2\}$$\{0,~1,~2\}$이다.

(나) $g(t)=2$$g(t)=2$인 자연수의 개수는 $6$$6$이다.

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i. 정리

• 우선 그래프 개형을 생각하자.

  $f_1(x)=\frac{4}{x-3}+a$$f_1(x)=\cfrac 4{x-3}+a$

  이 함수의 치역은 $a-4<y<a$$a-4< y<a$이다.

  $f_2(x)=|5{\log }_{2}x-b|$$f_2(x)=|5\log_2x -b|$

  이 함수는 경우가 좀 나뉘니까 풀면서 그려보도록 하자.

• $g(t)$$g(t)$의 치역은 $\{0,1,2\}$$\{0,~1,~2\}$

  크게 의미가 있을까.... $3$$3$이 나올 경우가 있긴 한가...? 아..있긴 하구나... $f_2(2)>a$$f_2(2)>a$이면 가능하네?

  어? 그럼 $f_2(2)\le a$$f_2(2)\le a$임을 알 수 있다. (근데 쓸모있나?)

ii. 생각

조건 (나)를 보면 $g(t)=2$$g(t)=2$인 자연수의 개수는 $6$$6$이다. 그런데, $f(x)\ge 0$$f(x)\ge 0$임은 명확하다.

그럼 최소한 $a$$a$는 $6$$6$보다 큰 자연수이다. 즉 $a\ge 7$$a\ge 7$인 자연수임을 알 수 있다.

그리고 $a+b$$a+b$의 최솟값을 구하는 것이니까, $a=7$$a=7$일 때를 구하면 되겠다? ($b$$b$도 자연수니까!)

그리고 $x\ge 2$$x\ge 2$에서 $y=f_2(x)$$y=f_2(x)$의 치역은 $\{y|y\ge 0\}$$\{y|y\ge 0\}$이어야 한다. 즉, $b\ge 5$$b\ge 5$를 만족해야한다.

$b=5$$b=5$일 때의 그래프를 빨리 그려보면,

조건 (나)를 만족시키지 못 하는 것을 알 수 있다.

그렇다면, $x=2$$x=2$에서 $f(x)$$f(x)$의 그래프가 연속이 되어야만 함을 알아낼 수 있다.

$f_1(2)=f_2(2)$$f_1(2)=f_2(2)$를 만족하는 $b$$b$의 값을 계산하면,

$\frac{4}{2-3}+7=|5{\log }_{2}2-b|$$\cfrac 4{2-3} +7=|5\log_2 2 -b|$

$\therefore b=8(\because b\in \mathbb{N})$$\therefore~ b=8 \quad (\because~b\in\mathbb N)$

$\therefore a+b=15$$\therefore~ a+b=15$