2024학년도 11월 21번

21. 양수 $a$$a$에 대하여 $x\ge -1$$x\ge -1$에서 정의된 함수 $f(x)$$f(x)$는 $\begin{array}{c}f(x)=\{\begin{array}{ll}-x^2+6x& (-1\le x<6)\\ a{\log }_4(x-5)& (x\ge 6)\end{array}\end{array}$$f(x)=\begin{cases} -x^2 +6x&(-1\le x<6)\\ a\log_4 (x-5)&(x\ge 6)\end{cases}$이다. $t\ge 0$$t\ge 0$인 실수 $t$$t$에 대하여 닫힌구간 $[t-1,t+1]$$[t-1,~t+1]$에서의 $f(x)$$f(x)$의 최댓값을 $g(t)$$g(t)$라 하자. 구간 $[0,\mathrm{\infty })$$[0,~\infty)$에서 함수 $g(t)$$g(t)$의 최솟값이 $5$$5$가 되도록 하는 양수 $a$$a$의 최솟값을 구하시오.

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i. 생각

• $a>0$$a>0$이니까 $f(x)$$f(x)$의 로그함수 부분은 증가함수이다.

• 그럼 대충 그래프를 그려보자. (단 $2$$2$차함수 부분의 최댓값은 정확히 표현을 해야겠다)

  

  $f(x)=5$$f(x)=5$가 되는 경우를 살펴보면, $x=1,5$$x=1,~5$일 때와 $a{\log }_4(x-5)=5$$a\log_4(x-5)=5$일 때다. 이 사항을 염두에 두고 생각을 하자.

ii. 대충 그린 그래프를 보면서 $g(t)$$g(t)$의 값이 변할 때의 경계점을 생각해보자.

관심사는 오직 $g(t)$$g(t)$의 최솟값이 $5$$5$가 되도록 만드는 것이다.

그럼 $t=6$$t=6$일 때, $f(5)=f(7)=5$$f(5)=f(7)=5$가 되도록 하면 된다.

$f(7)=a{\log }_{4}2=\frac{1}{2}a=5$$f(7)=a\log_4 2=\cfrac 12 a=5$

$\therefore a=10$$\therefore~ a=10$

아니..geogebra에서 gif 내보내기 메뉴가 사라졌네...왜지...? 이 좋은 기능을....