2024학년도 11월 14번

14. 두 자연수 $a,b$$a,~b$에 대하여 함수 $f(x)$$f(x)$는 $\begin{array}{c}f(x)=\{\begin{array}{ll}2x^3-6x+1& (x\le 2)\\ a(x-2)(x-b)+9& (x>2)\end{array}\end{array}$$f(x)=\begin{cases} 2x^3-6x+1&(x\le 2)\\ a(x-2)(x-b)+9 &(x>2)\end{cases}$이다. 실수 $t$$t$에 대하여 함수 $y=f(x)$$y=f(x)$의 그래프와 직선 $y=t$$y=t$가 만나는 점의 개수를 $g(t)$$g(t)$라 하자.

$g(k)+\underset{t\to k-}{lim}g(t)+\underset{t\to k+}{lim}g(t)=9$$g(k)+\lim\limits_{ t\to k-}g(t)+\lim\limits_{t\to k+}g(t)=9$

를 만족시키는 실수 $k$$k$의 개수가 $1$$1$이 되도록 하는 두 자연수 $a,b$$a,~b$의 순서쌍 $(a,b)$$(a,~b)$에 대하여 $a+b$$a+b$의 최댓값을 구하시오.

---

i. 정리

• $x=2$$x=2$를 살펴봐야겠다.

  $f(2)=16-12+1=5$$f(2)=16-12+1=5$

  $\underset{x\to 2+}{lim}f(x)=9$$\lim\limits_{x\to 2+}f(x)=9$

  어..$x=2$$x=2$에서 불연속이다..

• 그래프 개형이 필요하겠네...

  $\begin{array}{c}{f}^{\prime }(x)=\{\begin{array}{ll}6x^2-6& (x\le 2)\\ a(x-b)+a(x-2)=a(2x-b-2)& (x>2)\end{array}\end{array}$$f'(x)=\begin{cases} 6x^2 -6 &(x\le 2) \\ a(x-b)+a(x-2)=a(2x-b-2)&(x>2)\end{cases}$

  $f(-1)=5,f(1)=-3$$f(-1)=5,~f(1)=-3$

  

• $x\le 2$$x\le 2$인 구간에서 $g(k)$$g(k)$를 구해보자.

  $\begin{array}{c}g(k)=\{\begin{array}{ll}1& (k<-3)\\ 2& (k=-3)\\ 3& (-3<k<5)\\ 2& (k=5)\\ 0& (k>5)\end{array}\end{array}$$g(k)=\begin{cases} 1&(k<-3)\\ 2&(k=-3)\\ 3&(-3<k<5)\\ 2&(k=5)\\ 0&(k>5)\end{cases}$

  대충 그린 그래프의 개형을 보면서 문제 조건에 맞는 경우를 찾도록 하자.

  어랏...위의 개형으로는 나오지 않는다 ...

  다시 가능한 개형을 그려보면, (뭐 이쯤되면 당연히 $y=5,y=-3$$y=5,~y=-3$일 때를 고르는 게 가능성이 높다는 걸 알 것이다.)

  

  $x>2$$x>2$일 때 $f(x)$$f(x)$의 꼭짓점의 함수값이 $-3$$-3$이면, $g(-3)+\underset{x\to -3-}{lim}g(k)+\underset{x\to -3+}{lim}g(k)=9$$g(-3)+\lim\limits_{ x\to -3-}g(k)+\lim\limits_{x\to -3+}g(k)=9$

  ㅇㅇ; 드디어 찾았다.

ii. 계산하자.

$f(\frac{b+2}{2})=-3$$f(\cfrac {b+2}2)=-3$이 되는 경우를 찾자.

• $\frac{b+2}{2}>2⟶b>2$$\cfrac {b+2}2 >2\quad \longrightarrow \quad b>2$

• $f(\frac{b+2}{2})=a(\frac{b-2}{2})(\frac{-b+2}{2})+9=-\frac{a}{4}(b-2{)}^2+9=-3$$f\Big(\cfrac {b+2}2\Big)=a(\cfrac {b-2}2)(\cfrac {-b+2}2)+9=-\cfrac a4(b-2)^2+9=-3$

  $a(b-2{)}^2=48$$a(b-2)^2=48$

  아..부정방정식이네... $a,b$$a,~b$는 자연수...

  $(a,(b-2{)}^2)$$(a,~(b-2)^2)$의 순서쌍을 구하면, $(48,1),(12,4),(3,16)$$(48,~1),~(12,~4),~(3,~16)$의 경우가 가능하고

  $a=48⟶b-2=\pm 1⟶b=1,3$$a=48\quad \longrightarrow \quad b-2=\pm 1\quad \longrightarrow b=1,~3$

  $a=12⟶b-2=\pm 2⟶b=4,0$$a=12\quad \longrightarrow \quad b-2=\pm 2\quad \longrightarrow \quad b=4,~0$

  $a=3⟶b-2=\pm 4⟶b=6,-2$$a=3\quad \longrightarrow \quad b-2=\pm 4\quad \longrightarrow \quad b=6,~-2$

조건에 맞는 $(a,b)$$(a,~b)$의 순서쌍은 $(48,3),(12,4),(3,6)$$(48,~3),~(12,~4),~(3,~6)$

$\therefore a+b=51$$\therefore~ a+b=51$이 최댓값이다.