2024학년도 11월 15번

15. 첫째항이 자연수인 수열 $\{a_n\}$$\{a_n\}$이 모든 자연수 $n$$n$에 대하여 $\begin{array}{c}{a}_{n+1}=\{\begin{array}{ll}{2}^{a_n}& (a_n\text{이 홀수인 경우})\\ \frac{1}{2}{a}_n& (a_n\text{이 짝수인 경우})\end{array}\end{array}$$a_{n+1}=\begin{cases} 2^{a_n} &(a_n\text{이 홀수인 경우})\\ \cfrac 12 a_n &(a_n\text{이 짝수인 경우})\end{cases}$를 만족시킬 때, $a_6+a_7=3$$a_6+a_7=3$이 되도록 하는 모든 $a_1$$a_1$의 값의 합을 구하시오.

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i. 생각

• $a_n$$a_n$은 자연수다!

• 그럼 두 자연수의 합이 $3$$3$이 되는 경우는?

  $(1,2),(2,1)$$(1,~2),~(2,~1)$이네?

ii. $a_6=1$$a_6=1$이면?

순서대로 $a_6,a_5,a_4,a_3,a_2,a_1$$a_6,~a_5,~a_4,~a_3,~a_2,~a_1$을 수형도로 나타내자.

가능한 $a_1=2,8,6,32$$a_1=2,~8,~6,~32$

iii. $a_6=2$$a_6=2$이면,

가능한 $a_1=1,4,3,16,12,5,64$$a_1=1,~4,~3,~16,~12,~5,~64$

iv. 계산

가능한 모든 $a_1$$a_1$의 값은 $1,2,3,4,5,6,8,12,16,32,64$$1,~2,~3,~4,~5,~6,~8,~12,~16,~32,~64$

$\therefore 153$$\therefore~ 153$

뭐지 수형도 그리는 게 문제야??