2024학년도 11월 13번

13. 그림과 같이 $\overline{AB}=3,\overline{BC}=\sqrt{13},\overline{AD}\times \overline{CD}=9,\mathrm{\angle }BAC=\frac{\pi }{3}$$\overline{AB}=3,~\overline{BC}=\sqrt{13},~\overline{AD}\times \overline{CD}=9,~\angle BAC=\cfrac {\pi}3$인 사각형 $ABCD$$ABCD$가 있다. 삼각형 $ABC$$ABC$의 넓이를 $S_1$$S_1$, 삼각형 $ACD$$ACD$의 넓이를 $S_2$$S_2$라 하고, 삼각형 $ACD$$ACD$의 외접원의 반지름의 길이를 $R$$R$이라 하자. $S_2=\frac{5}{6}{S}_1$$S_2=\cfrac 56 S_1$일 때, $\frac{R}{\sin (\mathrm{\angle }ADC)}$$\cfrac R{\sin (\angle ADC)}$의 값을 구하시오.

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i. 생각

• 특수각을 이용하자.

• 원의 중심을 이용할 건덕지는 안 보인다.

특수각을 이용하기 위해 $B$$B$에서 $\overline{AC}$$\overline{AC}$에 수선의 발 $H$$H$를 내리면,

• $\overline{AB}=3⟶\overline{AH}=\frac{3}{2},\overline{BH}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$$\overline{AB}=3\quad \longrightarrow \quad \overline{AH}=\cfrac 32,~\overline{BH}=\cfrac {3\sqrt3}{2}$

• $\overline{BC}=\sqrt{13}⟶\overline{HC}=\sqrt{13-\frac{27}{4}}=\frac{5}{2}$$\overline{BC}=\sqrt{13}\quad \longrightarrow \quad \overline{HC}=\sqrt{13-\cfrac {27}4}=\cfrac 52$

$\therefore \overline{AC}=4$$\therefore~ \overline{AC}=4$

ii. 접근

• $S_1=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4\sin \frac{\pi }{3}=3\sqrt{3}$$S_1=\cfrac 12 \cdot 3\cdot 4\sin \cfrac {\pi}3=3\sqrt 3$

• $S_2=\frac{1}{2}\cdot \overline{AD}\times \overline{CD}\sin \mathrm{\angle }ADC=\frac{9}{2}\sin \mathrm{\angle }ADC$$S_2=\cfrac 12\cdot \overline{AD}\times \overline{CD}\sin\angle ADC=\cfrac 92 \sin \angle ADC$

  $S_2=\frac{5}{6}{S}_1=\frac{5}{2}\sqrt{3}$$S_2=\cfrac 56 S_1=\cfrac 52 \sqrt 3$

  $5\sqrt{3}=9\sin \mathrm{\angle }ADC$$5\sqrt3 =9\sin \angle ADC$

  $\therefore \sin \mathrm{\angle }ADC=\frac{5\sqrt{3}}{9}$$\therefore~ \sin \angle ADC=\cfrac {5\sqrt 3}9$

• $2R=\frac{\overline{AC}}{\sin \mathrm{\angle }ADC}=\frac{4}{\frac{5\sqrt{3}}{9}}=\frac{36}{5\sqrt{3}}$$2R=\cfrac {\overline{AC}}{\sin \angle ADC}=\cfrac {4}{\cfrac {5\sqrt 3}9}=\cfrac {36}{5\sqrt 3}$

  $\therefore R=\frac{18}{5\sqrt{3}}$$\therefore~ R=\cfrac {18}{5\sqrt 3}$

iii. 계산

$\therefore \frac{R}{\sin \mathrm{\angle }ADC}=\frac{\frac{18}{5\sqrt{3}}}{\frac{5\sqrt{3}}{9}}=\frac{18\times 9}{25\cdot 3}=\frac{54}{25}$$\therefore~ ~\cfrac {R}{\sin \angle ADC}=\cfrac{\cfrac {18}{5\sqrt3}}{\cfrac{5\sqrt3}9}=\cfrac {18\times9}{25\cdot 3}=\cfrac {54}{25}$