2024학년도 11월 22번

22. 최고차항의 계수가 $1$$1$인 삼차함수 $f(x)$$f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

함수 $f(x)$$f(x)$에 대하여 $f(k-1)f(k+1)<0$$f(k-1)f(k+1)<0$을 만족시키는 정수 $k$$k$는 존재하지 않는다.

$f^{\prime }(-\frac{1}{4})=-\frac{1}{4},f^{\prime }(\frac{1}{4})<0$$f'\big(-\cfrac 14\big)=-\cfrac 14,~f'\big(\cfrac 14\big)<0$일 때, $f(8)$$f(8)$의 값을 구하시오.

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i. 생각

• 가능한 그래프 개형을 생각해보자.

  조건이 전혀 감이 와 닿지 않으니 꽤 많은 개형을 그려봐야할 거 같다?

   

  	$f(x)=0$$f(x)=0$의 근이 어떤 수가 되어도 주어진 조건의 부등식을 만족시키는 정수는 존재한다.
  	뭐 항상 존재할 수 밖에 없네....
  	이거 될 거 같기도 하고 아닌 거 같기도 하고 우선 미뤄두자.
  	존재한다.
  	존재한다.

ii. 좀 더 생각하자.

$f(x)=0$$f(x)=0$의 근을 $\alpha ,0,\beta$$\alpha,~0,~\beta$라 하자. ($\alpha <0<\beta$$\alpha<0 <\beta$)

$x=0$$x=0$이 한 근으로 고정된 이유는 $f^{\prime }(-\frac{1}{4})=-\frac{1}{4}$$f'\big(-\cfrac 14\big)=-\cfrac 14$이고 $f^{\prime }(\frac{1}{4})<0$$f'\big(\cfrac 14\big)<0$에서 유추할 수 있다.

• 우선 세 근을 한 번에 접근하기에는 너무 복잡하니까 두 근으로 조건을 만족시킬 수 있는 경우를 생각하자.

  $0$$0$을 기준으로 생각하자. (그냥 그나마 알고 있는 근이니까?)

  다른 한 근과의 차이가 $1$$1$보다 작으면? 존재한다...

  다른 한 근과의 차이가 $1$$1$보다 크면? 역시 존재한다...

  그럼 뭐 한근과의 차이가 $1$$1$일 때에 등호를 만들거나 부등식을 만족시키지 않는다!

  그럼 이 한근이 $1$$1$일까? $-1$$-1$일까?

  아니 아예 나머지 한 근도 $1$$1$의 차이가 나서 $-1,0,1$$-1,~0,~1$이면 불가능할까?

  어 되네?

  $f(x)=x(x^2-1)$$f(x)=x(x^2 -1)$

  $f^{\prime }(x)=(x^2-1)+2x^2$$f'(x)=(x^2 -1)+2x^2$

  $f^{\prime }(-\frac{1}{4})=\frac{1}{16}-1+\frac{2}{16}\ne -\frac{1}{4}$$f'(-\cfrac 14)=\cfrac 1{16}-1+\cfrac 2{16}\neq -\cfrac 14$

  아..안되네?

• 그럼 확실한 건 근의 형태가 $x=\alpha ,0,1$$x=\alpha,~0,~1$이거나 $x=-1,0,\beta$$x=-1,~0,~\beta$로 표현되는 형태인가 보다.

• $x=\alpha ,0,1$$x=\alpha ,~0,~1$일 때, (단, $-1<\alpha <0$$-1<\alpha <0$)

  $f(x)=x(x-1)(x-\alpha )$$f(x)=x(x-1)(x-\alpha)$라 하면,

  $f^{\prime }(x)=(x-\alpha )(x-1)+x(x-\alpha )+x(x-1)$$f'(x)=(x-\alpha)(x-1)+x(x-\alpha)+x(x-1)$

  $f^{\prime }(-\frac{1}{4})=-\frac{1}{4}$$f'(-\cfrac 14)=-\cfrac 14$를 풀면

  $\alpha =-\frac{5}{8}$$\alpha=-\cfrac 58$

  이 이건가?

• $x=-1,0,\beta$$x=-1,~0,~\beta$일 때, (단, $0<\beta <1$$0<\beta<1$)

  $f(x)=x(x+1)(x-\beta )$$f(x)=x(x+1)(x-\beta)$

  $f^{\prime }(x)=(x+1)(x-\beta )+x(x-\beta )+x(x+1)$$f'(x)=(x+1)(x-\beta)+x(x-\beta)+x(x+1)$

  $f^{\prime }(-\frac{1}{4})=-\frac{1}{4}$$f'(-\cfrac 14)=-\cfrac 14$를 풀면,

  $\beta =-\frac{1}{8}$$\beta=-\cfrac 18$

  음..조건에 위배된다.

$\therefore f(x)=x(x-1)(x+\frac{5}{8})$$\therefore~ f(x)=x(x-1)(x+\cfrac 58)$

$\therefore f(8)=8\cdot 7\cdot \frac{69}{8}=483$$\therefore~ f(8)=8\cdot 7\cdot \cfrac {69}8=483$