2024년 10월 22번

22. 최고차항의 계수가 $1$$1$인 삼차함수 $f(x)$$f(x)$에 대하여 함수 $g(x)$$g(x)$를 $\begin{array}{c}g(x)=\{\begin{array}{ll}f(x)+x& (f(x)\ge 0)\\ 2f(x)& (f(x)<0)\end{array}\end{array}$$g(x)=\begin{cases} f(x)+x&(f(x)\ge0) \\ 2f(x)&(f(x)<0)\end{cases}$이라 할 때, 함수 $g(x)$$g(x)$는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 $g(x)$$g(x)$가 $x=t$$x=t$에서 불연속인 실수 $t$$t$의 개수는 $1$$1$이다.

(나) 함수 $g(x)$$g(x)$가 $x=t$$x=t$에서 미분가능하지 않은 실수 $t$$t$의 개수는 $2$$2$이다.

$f(-2)=-2$$f(-2)=-2$일 때, $f(6)$$f(6)$의 값을 구하시오.

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i. 정리

• $f(x)=x^3+\sim$$f(x)=x^3 +\sim$

• $\begin{array}{c}{g}^{\prime }(x)=\{\begin{array}{ll}{f}^{\prime }(x)+1& (f(x)\ge 0)\\ 2f^{\prime }(x)& (f(x)<0)\end{array}\end{array}$$g'(x)=\begin{cases} f'(x)+1&(f(x)\ge 0)\\ 2f'(x) &(f(x)<0)\end{cases}$

ii. 생각

조건을 살펴보면 $f(x)=0$$f(x)=0$인 근이 단 두개만 존재해야함을 알 수 있다. 즉, 한 근은 중근이다!!!

그래프 조건을 보면 $f(x)=0$$f(x)=0$을 기준으로 함수가 바뀌는데 한 점은 불연속이고 나머지 한점은 연속이지만 미분 불가능이다. 서로 다른 세 실근을 갖는다고 생각하면 조건을 만족시킬 수 없음은 명확하다.

다시 정리하면 한 점에서는 불연속이 되고 한 점은 연속이지만 미분불가능이다.

우선 $x=\alpha$$x=\alpha$에서 연속인 점을 찾도록 하자.

$f(\alpha )=0$$f(\alpha)=0$

$f(\alpha )+\alpha =2f(\alpha )$$f(\alpha)+\alpha=2f(\alpha)$

$\therefore f(\alpha )=\alpha =0$$\therefore~ f(\alpha)=\alpha=0$

어? 이 점이 연속이지만 미분불가능해야한다!

$f(\beta )=0$$f(\beta)=0$이고 $\beta \ne 0$$\beta\neq 0$이라 하면 $x=\beta$$x=\beta$에서 $g(x)$$g(x)$는 불연속이 당연하니까!

즉, $x=0$$x=0$에서 연속이지만 미분불가능해야한다. 즉, $g(x)$$g(x)$는 $x=0$$x=0$에서 좌우로 함수가 바뀌어야만 한다!

$\therefore f(x)=x(x-\beta {)}^2$$\therefore~ f(x)=x(x-\beta)^2$의 형태를 가진다는 것을 알 수 있다.

iii. 계산

$f(-2)=-2(-2-\beta {)}^2=-2$$f(-2)=-2(-2-\beta)^2 =-2$

$\beta =-3,-1$$\beta=-3,~-1$

얼래..두 개가 나와? 그럼 하나는 아닌값지 뭐...

i. $f(x)=x(x+1{)}^2$$f(x)=x(x+1)^2$의 형태일 때를 보자.

$f^{\prime }(x)=(x+1{)}^2+2x(x+1)$$f'(x)=(x+1)^2 +2x(x+1)$

$\underset{x\to 0^{-}}{lim}{g}^{\prime }(x)=2f^{\prime }(0)=2$$\lim\limits_{x\to 0^-}g'(x)=2f'(0)=2$

$\underset{x\to 0+}{lim}{g}^{\prime }(x)=f^{\prime }(0)+1=2$$\lim\limits_{x\to 0+}g'(x)=f'(0)+1=2$

어랏 $x=0$$x=0$에서 미분가능이된다.

$\therefore \beta =-3$$\therefore~ \beta=-3$이다.

iv. 마지막

$f(x)=x(x+3{)}^2$$f(x)=x(x+3)^2$

$f(6)=6\cdot 9^2=486$$f(6)=6\cdot 9^2=486$