2024년 07월 20번

20. 두 함수 $f(x)=x^3-12x,g(x)=a(x-2)+2(a\ne 0)$$f(x)=x^3 -12x,~g(x)=a(x-2)+2~(a\neq 0)$에 대하여 함수 $h(x)$$h(x)$는 $\begin{array}{c}h(x)=\{\begin{array}{ll}f(x)& (f(x)\ge g(x))\\ g(x)& (f(x)<g(x))\end{array}\end{array}$$h(x)=\begin{cases} f(x)&(f(x)\ge g(x))\\g(x)&(f(x)<g(x))\end{cases}$이다. 함수 $h(x)$$h(x)$가 다음 조건을 만족시키도록 하는 모든 실수 $a$$a$의 값의 범위는 $m<a<M$$m<a<M$이다.

함수 $y=h(x)$$y=h(x)$의 그래프와 직선 $y=k$$y=k$가 서로 다른 네 점에서 만나도록 하는 실수 $k$$k$가 존재한다.

$10\times (M-m)$$10\times (M-m)$의 값을 구하시오.

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i. 생각

• $f(x)$$f(x)$에 대해 살펴보자.

  $f(x)=x(x^2-12)$$f(x)=x(x^2-12)$

  $f^{\prime }(x)=3(x^2-4)$$f'(x)=3(x^2 -4)$

• $g(x)$$g(x)$에 대해 살펴보자?

  기울기가 $a$$a$이고 $(2,2)$$(2,~2)$를 지나는 직선

• $h(x)$$h(x)$에 대해 살펴보자!

  $h(x)=max\{f(x),g(x)\}$$h(x)=\max\{f(x),~g(x)\}$

  편의상 두 함수를 비교해 큰 그래프만 그리면 된다!

ii. 접근

뭐 대충 그래프를 그리고 생각하는 건 당연한 이야기다.

대충 문제를 이해하기 위해 직선을 그리자!

$⟶$$\quad \longrightarrow \quad$

오! $a>0$$a>0$이면 불가능하다! 최대로 세 점에서만 만난다.

$\therefore M=0$$\therefore~ M=0$

그럼 $a<0$$a<0$일 때를 고민하면 되겠다.

$⟶$$\quad \longrightarrow \quad$

미분 불가능한 가장 작은 $x$$x$의 좌표를 $x_1$$x_1$이라 하고 $y=f(x)$$y=f(x)$의 극댓값의 $x$$x$좌표를 $x_2$$x_2$라 하면,

$f(x_1)<k<f(x_2)$$f(x_1)<k<f(x_2)$일 때, $y=k$$y=k$는 $y=h(x)$$y=h(x)$와 네 점에서 만난다!!

그러면!!!!!

$y=g(x)$$y=g(x)$가 $(x_2,f(x_2))$$(x_2,~f(x_2))$를 지나기 직전까지 $y=k$$y=k$가 존재한다!!!

$\therefore g(x)$$\therefore~ g(x)$는 $(-2,f(-2))$$(-2,~f(-2))$를 지나면 된다.

iii. 계산

$(-2,16)$$(-2,~16)$을 지나면 된다.

$g(-2)=16$$g(-2)=16$

방정식을 풀면,

$a=-\frac{7}{2}$$a=-\cfrac 72$

$\therefore -\frac{7}{2}<a<0$$\therefore~ -\cfrac 72 <a<0$

$\therefore m=-\frac{7}{2},M=0$$\therefore~ m=-\cfrac 72,~M=0$

$\therefore 10\times (M-m)=35$$\therefore~ 10\times (M-m)=35$