2024년 07월 22번

22. 두 자연수 $a,b(a<b<8)$$a,~b(a<b<8)$에 대하여 함수 $f(x)$$f(x)$는 $\begin{array}{c}f(x)=\{\begin{array}{ll}|x+3|-1& (x<a)\\ x-10& (a\le x<b)\\ |x-9|-1& (x\ge b)\end{array}\end{array}$$f(x)=\begin{cases} |x+3|-1&(x<a)\\ x-10&(a\le x<b)\\ |x-9|-1&(x\ge b)\end{cases}$이다. 함수 $f(x)$$f(x)$와 양수 $k$$k$는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 $f(x)f(x+k)$$f(x)f(x+k)$는 실수 전체의 집합에서 연속이다.

(나) $f(k)<0$$f(k)<0$

$f(a)\times f(b)\times f(k)$$f(a)\times f(b)\times f(k)$의 값을 구하시오.

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i. 생각

• $g(x)=f(x)f(x+k)$$g(x)=f(x)f(x+k)$라 하면,

  $x=a-k,a,b-k,b$$x=a-k,~a,~b-k,~b$에서 연속이어야 한다.

  $\because f(x)$$\because~f(x)$는 $x=a,b$$x=a,~b$에서 불연속

할 일은 정해졌다. 연속이 되도록 만들면 된다!

ii. 시작

i. $x=a-k$$x=a-k$에서 연속이 되는 조건은?

$\underset{x\to (a-k)-}{lim}g(x)=(|a-k+3|-1)\times (a+2)$$\lim\limits_{x\to (a-k)-}g(x)=(|a-k+3|-1)\times (a+2)$

$g(a-k)=(|a-k+3|-1)\times (a-10)$$g(a-k)=(|a-k+3|-1)\times (a-10)$

$a+2\ne a-10$$a+2\neq a-10$인 것 명백하니 $|a-k+3|-1=0$$|a-k+3|-1=0$이어야 한다.

정리하면, $\begin{array}{c}a-k=\{\begin{array}{l}-2\\ -4\end{array}\end{array}$$a-k=\begin{cases} -2\\-4\end{cases}$

$\begin{array}{c}k=\{\begin{array}{l}a+2\\ a+4\end{array}\end{array}$$k=\begin{cases} a+2\\ a+4\end{cases}$를 만족해야한다.

ii. $x=a$$x=a$에서 연속이 되는 조건은?

$\underset{x\to a-}{lim}g(x)=(a+2)f(a+k)$$\lim\limits_{ x\to a-} g(x)=(a+2)f(a+k)$

$g(a)=(a-10)f(a+k)$$g(a)=(a-10)f(a+k)$

역시나 위와 마찬가지로 $f(a+k)=0$$f(a+k)=0$이 되어야 한다.

$k=a+2$$k=a+2$인 경우이면, $a+k=2a+2$$a+k=2a+2$

$k=a+4$$k=a+4$인 경우이면, $a+k=2a+4$$a+k=2a+4$

그, 그런데 우선 $f(a+k)=0$$f(a+k)=0$이 되는 경우를 생각하면, $a+k=8$$a+k=8$ 또는 $a+k=10$$a+k=10$인 경우 밖에 존재하지 않는다.

이 경우를 만족할 수 있는 $a$$a$의 값을 구하면, $a=2,3,4$$a=2,~3,~4$일 때 가능하다.

이제 $x=b-k$$x=b-k$와 $x=b$$x=b$를 만족하는 조건을 찾으면 되겠다.

iii. $x=b-k$$x=b-k$에서 연속일 조건을 찾자.

i. $b-k<a$$b-k<a$이면

$\underset{x\to (b-k)-}{lim}g(x)=g(b-k)$$\lim\limits_{x\to (b-k)-}g(x)=g(b-k)$를 계산하자.

$(|b-k+3|-1)(b-10)=(|b-k+3|-1)(|b-9|-1)$$(|b-k+3|-1)(b-10)=(|b-k+3|-1)(|b-9|-1)$

i. $|b-k+3|-1\ne 0$$|b-k+3|-1\neq 0$이면,

$b-10=|b-9|-1(b<8)$$b-10=|b-9|-1\quad (b<8)$

$b-10=-b+8$$b-10=-b+8$

$b=9$$b=9$

$b<8$$b<8$인 조건에 위배된다.

ii. $|b-k+3|-1=0$$|b-k+3|-1=0$이면,

$\begin{array}{c}b-k=\{\begin{array}{l}-2\\ -4\end{array}\end{array}$$b-k=\begin{cases} -2\\ -4\end{cases}$

그런데, $f(k)<0$$f(k)<0$이고 $k>0$$k>0$이다.

$f(k)<0$$f(k)<0$이기 위해서는 $a\le k<b$$a\le k<b$에 존재해야한다. 그러면, $b-k>0$$b-k>0$이므로 불가능하다.

 

$\therefore b-k\ge a$$\therefore~ b-k\ge a$

ii. $b-k\ge a$$b-k\ge a$이면

$\underset{x\to (b-k)-}{lim}g(x)=(b-k-10)(|b-9|-1)$$\lim\limits_{x\to (b-k)-}g(x)=(b-k-10)(|b-9|-1)$

$g(b-k)=(b-k-10)(|b-9|-1)$$g(b-k)=(b-k-10)(|b-9|-1)$

어랏? 그냥 연속이네.

iv. $x=b$$x=b$에 연속인 조건은?

계산하나마나......연속이다....

iii. 다시 살펴보자.

그나마 의심할 곳은 $b-k\ge a$$b-k\ge a$

다시 생각해보니 $b-k>a$$b-k>a$일 때와 $b-k=a$$b-k=a$일 때로 나누었어야 했다.

$b-k>a$$b-k>a$일 때 $g(b-k)=f(b-k)f(b)$$g(b-k)=f(b-k)f(b)$를 생각하면, 연속일 수 밖에 없고..

$b-k=a$$b-k=a$일 때 불연속이 될 경우가 발생할 수 있다.....

$\underset{x\to (b-k)-}{lim}g(x)=(a+2)(b-10)$$\lim\limits_{x\to (b-k)-}g(x)=(a+2)(b-10)$

$g(b-k)=(a-10)(8-b)$$g(b-k)=(a-10)(8-b)$

정리하면, $(a+2)(b-10)=(a-10)(8-b)$$(a+2)(b-10)=(a-10)(8-b)$

$a=2$$a=2$일 때 $b=6$$b=6$

$a=3$$a=3$일 때, $b=3$$b=3$ 이건 조건에 위배된다.

$a=4$$a=4$일 때, $b$$b$는 존재하지 않는다!

$\therefore a=2,b=6$$\therefore~ a=2,~b=6$이고 $k=4$$k=4$

iv. 계산하자.

$\begin{array}{c}f(x)=\{\begin{array}{ll}|x+3|-1& (x<2)\\ x-10& (2\le x<6)\\ |x-9|-1& (x\ge 6)\end{array}\end{array}$$f(x)=\begin{cases} |x+3|-1&(x<2)\\ x-10&(2\le x <6)\\ |x-9|-1&(x\ge 6)\end{cases}$

$\therefore f(2)\times f(6)\times f(4)=-8\times 2\times -6=96$$\therefore~ f(2)\times f(6)\times f(4)=-8\times 2\times -6=96$