2024년 07월 21번

21. $m\le -10$$m\le -10$인 상수 $m$$m$에 대하여 함수 $f(x)$$f(x)$는 $\begin{array}{c}f(x)=\{\begin{array}{ll}|5{\log }_2(4-x)+m|& (x\le 0)\\ 5{\log }_{2}x+m& (x>0)\end{array}\end{array}$$f(x)=\begin{cases} |5\log_2(4-x)+m|&(x\le 0)\\ 5\log_2 x+m&(x>0)\end{cases}$이다. 실수 $t(t>0)$$t(t>0)$에 대하여 $x$$x$에 대한 방정식 $f(x)=t$$f(x)=t$의 모든 실근의 합을 $g(t)$$g(t)$라 하자. 함수 $g(t)$$g(t)$가 다음 조건을 만족시킬 때, $f(m)$$f(m)$의 값을 구하시오.

$t\ge a$$t\ge a$인 모든 실수 $t$$t$에 대하여 $g(t)=g(a)$$g(t)=g(a)$가 되도록 하는 양수 $a$$a$의 최솟값은 $2$$2$이다.

i. 생각

• 항상 그래프 개형을 그려놓고 생각하자.

  

  $y=t$$y=t$에 대해서 생각해보면,

  

  $t$$t$의 범위에 따라 근의 개수가 나뉜다. 즉, $t$$t$의 범위를 나누어서 $g(t)$$g(t)$의 값을 구하면 되겠다.

ii. 시작

i. $0<t<-10-m$$0<t<-10-m$일 때,

$f(x)=t$$f(x)=t$의 근을 크기순으로 $\alpha ,\beta ,\gamma$$\alpha ,~\beta,~\gamma$라 하면,

$5{\log }_2(4-\alpha )+m=t$$5\log_2(4-\alpha)+m=t$

$-5{\log }_2(4-\beta )+m=t$$-5\log_2(4-\beta)+m=t$

$5{\log }_{2}x+m=t$$5\log_2x+m=t$

$\alpha +\beta +\gamma$$\alpha+\beta+\gamma$를 구해야하니.... 식을 가지고 장난을 치자.

$5{\log }_2(4-\alpha )+m=-5{\log }_2(4-\beta )-m=5{\log }_2\gamma +m$$5\log_2(4-\alpha)+m=-5\log_2(4-\beta)-m=5\log_2\gamma +m$

• ${\log }_2(4-\alpha )(4-\beta )=\frac{2m}{5}$$\log_2(4-\alpha)(4-\beta)=\cfrac {2m}5$

  음....뭘까?

• ${\log }_2\gamma (4-\beta )=-\frac{2m}{5}$$\log_2\gamma(4-\beta)=-\cfrac {2m}5$

  에라이...

• $4-\alpha =\gamma$$4-\alpha=\gamma$

  $\alpha +\gamma =4$$\alpha+\gamma=4$

  음....$\beta$$\beta$가 문제다...?

  $\beta <0$$\beta<0$이니까

  $\alpha +\beta +\gamma <4$$\alpha+\beta+\gamma<4$

  에이....뭐야...

ii. $t\ge -10-m$$t\ge -10-m$일 때

$5{\log }_2(4-\alpha )+m=t$$5\log_2(4-\alpha)+m=t$

$5{\log }_2\beta +m=t$$5\log_2\beta +m=t$

$\alpha +\beta =4$$\alpha+\beta=4$

어? 고정값이다.

$g(a)=4$$g(a)=4$가 되면 된다!

다시 정리하면, $g(2)=4$$g(2)=4$임을 알 수 있고,

$t\ge -10-m\ge 2$$t\ge -10-m\ge 2$이면 된다.

$\therefore m=-12$$\therefore~ m=-12$

계산하자.

$\therefore f(-12)=|5{\log }_2(4+12)-12|=8$$\therefore~ f(-12)=|5\log_2(4+12)-12|=8$