2025학년도 06월 미적분 30번

30. 함수 $y=\frac{\sqrt{x}}{10}$$y=\cfrac{\sqrt x}{10}$의 그래프와 함수 $y=\tan x$$y=\tan x$의 그래프가 만나는 모든 점의 $x$$x$좌표를 작은 수부터 크기순으로 나열할 때, $n$$n$번째 수를 $a_n$$a_n$이라 하자. $\frac{1}{{\pi }^2}\times \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n^3{\tan }^2(a_{n+1}-a_n)$$\cfrac 1{\pi^2} \times \lim\limits_{n\to\infty} a_n^3\tan^2 (a_{n+1}-a_n)$의 값을 구하시오.

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i. 생각

• 헐....30번 문제가 짧아......망했다.....

• 게다가 무리함수와 삼각함수의 방정식? 에이......못 풀어...

• 어떻게는 $n$$n$을 끄집어 낼 생각을 해야겠네.....제길..

ii. 접근

• 될 지는 모르겠지만 역시나 그래프를 그리고 시작하자.

  

  볼수록 암울하다...

  다만...억지로 $n$$n$을 끄집어 내기 위해 잠깐 생각을 해보자.

  $a_n=(n-1)\pi +b_n$$a_n=(n-1)\pi+b_n$이라 하고 $0<b_n<\frac{\pi }{2}$$0<b_n<\cfrac{\pi}2$로 생각할 수 있다. (당연히 $b_n$$b_n$은 증가함수)

  그리고 극한의 개념을 좀 생각해본다면, $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=\frac{\pi }{2}$$\lim\limits_{ n\to\infty} b_n=\cfrac{\pi}2$가 될 것이다.

   

  그리고 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\{a_{n+1}-a_n\}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n\pi +b_{n+1}-(n-1)\pi -b_n=\pi$$\lim\limits_{n\to \infty} \{a_{n+1}-a_n\}=\lim\limits_{n\to\infty} n\pi +b_{n+1}-(n-1)\pi -b_n=\pi$임을 유추할 수도 있다...쓸모있나?

아! 좀더 뚫어지게 쳐다보면....

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{n}=\pi$$\lim\limits_{n\to\infty} \cfrac{a_n}n=\pi$인 것도 알 수 있겠다. ($\because a_n=(n-1)\pi +b_n$$\because ~a_n=(n-1)\pi +b_n$)

iii. 이제 어쩌라고?

• 식을 보아하니....$\tan (a_{n+1}-a_n)$$\tan(a_{n+1}-a_n)$을 유리식으로 변환시켜야 뭔가 할 수 있겠다. 그나마 지금으로서는 $\frac{a_n}{n}$$\cfrac{a_n}n$ 꼴을 만들어야 하잖아? 그 외에는 방법이 없잖아.....시벌...

  $\begin{array}{rl}\tan (a_{n+1}-a_n)& =\frac{\tan a_{n+1}-\tan a_n}{1+\tan a_{n+1}\cdot \tan a_n}⟵\text{오! 식은 더럽겠지만...}\\ \\ & =\frac{\frac{\sqrt{a_{n+1}}}{10}-\frac{\sqrt{a_n}}{10}}{1+\frac{\sqrt{a_{n+1}}}{10}\cdot \frac{\sqrt{a_n}}{10}}\\ \\ & =10\cdot \frac{\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_n}}{100-\sqrt{a_{n+1}}\cdot \sqrt{a_n}}\end{array}$$\begin{aligned} \tan(a_{n+1}-a_n)&=\cfrac{\tan a_{n+1}-\tan a_n}{1+\tan a_{n+1}\cdot \tan a_n}\quad \longleftarrow \quad \text{오! 식은 더럽겠지만...}\\ \\ &= \cfrac{\cfrac{\sqrt{a_{n+1}}}{10}-\cfrac{\sqrt{a_{n}}}{10}}{1+\cfrac{\sqrt{a_{n+1}}}{10}\cdot\cfrac{\sqrt{a_{n}}}{10}}\\ \\ &= 10\cdot \cfrac{\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_n}}{100-\sqrt{a_{n+1}}\cdot \sqrt{a_n}}\end{aligned}$

  오우...더러운데....건덕지가 보인다? 대충 수렴하게 장난질을 해주자. 분자를 유리화하면 되겠다.

  $\begin{array}{rl}10\cdot \frac{\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_n}}{100-\sqrt{a_{n+1}}\cdot \sqrt{a_n}}& =10\cdot \frac{a_{n+1}-a_n}{100-\sqrt{a_{n+1}}\cdot \sqrt{a_n}}\cdot \frac{1}{\sqrt{a_{n+1}}+\sqrt{a_n}}⟵n\text{으로 삽질가능?}\\ \\ & =10\cdot \frac{1}{n}\frac{a_{n+1}-a_n}{\frac{100}{n}-\frac{\sqrt{a_{n+1}}}{\sqrt{n}}\cdot \frac{\sqrt{a_n}}{\sqrt{n}}}\cdot \frac{1}{\sqrt{n}}\cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{a_{n+1}}}{\sqrt{n}}+\frac{\sqrt{a_n}}{\sqrt{n}}}\\ \\ & =10\cdot \frac{1}{n\sqrt{n}}\cdot \frac{a_{n+1}-a_n}{\frac{100}{n}-\frac{\sqrt{a_{n+1}}}{\sqrt{n}}\cdot \frac{\sqrt{a_n}}{\sqrt{n}}}\cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{a_{n+1}}}{\sqrt{n}}+\frac{\sqrt{a_n}}{\sqrt{n}}}\end{array}$$\begin{aligned}10\cdot \cfrac{\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_n}}{100-\sqrt{a_{n+1}}\cdot \sqrt{a_n}}&= 10\cdot \cfrac{a_{n+1}-a_n}{100-\sqrt{a_{n+1}}\cdot \sqrt{a_n}}\cdot \cfrac 1{\sqrt{a_{n+1}}+\sqrt{a_n}} \quad \longleftarrow \quad n\text{으로 삽질가능?}\\ \\ &=10\cdot\cfrac1{\color{red}{n}}\cfrac {a_{n+1}-a_n}{\cfrac{100}{\color{red}{n}}-\cfrac{\sqrt{a_{n+1}}}{\color{red}{\sqrt n}}\cdot\cfrac{\sqrt{a_{n}}}{\color{red}{\sqrt n}}}\cdot \cfrac{1}{\color{red}{\sqrt n}}\cdot \cfrac{1}{ {\cfrac{\sqrt{a_{n+1}}}{\color{red}{\sqrt n}}+\cfrac{\sqrt{a_n}}{\color{red}\sqrt n}}}\\ \\ &=10\cdot \cfrac 1{\color{red}n\sqrt n}\cdot\cfrac {a_{n+1}-a_n}{\cfrac{100}{\color{red}{n}}-\cfrac{\sqrt{a_{n+1}}}{\color{red}{\sqrt n}}\cdot\cfrac{\sqrt{a_{n}}}{\color{red}{\sqrt n}}}\cdot \cfrac{1}{ {\cfrac{\sqrt{a_{n+1}}}{\color{red}{\sqrt n}}+\cfrac{\sqrt{a_n}}{\color{red}\sqrt n}}}\end{aligned}$​

  와...욕나온다....암튼 이제 식을 정리해보자.

  $\begin{array}{rl}\text{(}\text{준}\text{식})& =\frac{1}{{\pi }^2}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n^3\cdot 100\cdot \frac{1}{n^3}(\frac{a_{n+1}-a_n}{\frac{100}{n}-\frac{\sqrt{a_{n+1}}}{\sqrt{n}}\cdot \frac{\sqrt{a_n}}{\sqrt{n}}}\cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{a_{n+1}}}{\sqrt{n}}+\frac{\sqrt{a_n}}{\sqrt{n}}}{)}^2\end{array}$$\begin{aligned}\text(준식)&=\cfrac1{\pi^2}\lim\limits_{n\to\infty}a_n^3\cdot 100\cdot \cfrac 1{n^3} \Big(\cfrac {a_{n+1}-a_n}{\cfrac{100}{\color{red}{n}}-\cfrac{\sqrt{a_{n+1}}}{\color{red}{\sqrt n}}\cdot\cfrac{\sqrt{a_{n}}}{\color{red}{\sqrt n}}}\cdot \cfrac{1}{ {\cfrac{\sqrt{a_{n+1}}}{\color{red}{\sqrt n}}+\cfrac{\sqrt{a_n}}{\color{red}\sqrt n}}}\Big)^2\end{aligned}$

  여기서 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{n}=\pi$$\lim\limits_{n\to\infty}\cfrac{a_n}n=\pi$이고 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(a_{n+1}-a_n)=\pi$$\lim\limits_{n\to\infty} (a_{n+1}-a_n)=\pi$임을 알고 있다. 이를 이용해 계산을 하면,

  $\begin{array}{rl}\text{준식}& =\frac{1}{{\pi }^2}\cdot (\pi {)}^3\cdot 100\cdot (\frac{\pi }{-\sqrt{\pi }\cdot \sqrt{\pi }}\cdot \frac{1}{\sqrt{\pi }+\sqrt{\pi }}{)}^2\\ & =\frac{1}{{\pi }^2}\cdot {\pi }^3\cdot 100\cdot (-\frac{1}{2\sqrt{\pi }}{)}^2\\ & =25\end{array}$$\begin{aligned} \text{준식}&=\cfrac 1{\pi^2}\cdot (\pi)^3\cdot 100\cdot \Big(\cfrac {\pi}{-\sqrt{\pi}\cdot \sqrt{\pi}}\cdot \cfrac 1{\sqrt{\pi}+\sqrt{\pi}}\Big)^2\\ &= \cfrac 1{\pi^2}\cdot \pi^3 \cdot 100 \cdot \big(-\cfrac {1}{2\sqrt{\pi}}\big)^2 \\ &= 25\end{aligned}$

그냥 틀리고 말래.....간간히 옳은 것 고르기 문제에서 나오던 개념이 $30$$30$번으로 나온 건 처음인 거 같은데??