2025학년도 06월 22번

22. 수열 $\{a_n\}$$\{a_n\}$은 $a_2=-a_1$$a_2=-a_1$이고, $n\ge 2$$n\ge 2$인 모든 자연수 $n$$n$에 대하여 $\begin{array}{c}{a}_{n+1}=\{\begin{array}{ll}{a}_n-\sqrt{n}\times a_{\sqrt{n}}& (\sqrt{n}\text{이 자연수이고 }{a}_n>0\text{인 경우}\\ a_n+1& (\text{그 외의 경우})\end{array}\end{array}$$a_{n+1}=\begin{cases} a_n-\sqrt n\times a_{\sqrt n}&(\sqrt n\text{이 자연수이고 }a_n>0\text{인 경우}\\ a_n+1&(\text{그 외의 경우}) \end{cases}\quad$를 만족시킨다. $a_{15}=1$$a_{15}=1$이 되도록 하는 모든 $a_1$$a_1$의 값의 곱을 구하시오.

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i. 생각

• 더...러...운...데?

• 조건을 보니 $n=4,9$$n=4,~9$일 때에만 다른 분기점으로 바뀔 수 있다.....

• 4가지....없네...

ii. 접근

• 우선 $a_{15}$$a_{15}$부터 거꾸로 나가자. 그럼 어쨌든 $a_9$$a_9$까지는 쭉쭉 계산이 가능하니까!

  $a_{15}=1⟶a_{14}=0⟶a_{13}=-1$$a_{15}=1\quad \longrightarrow \quad a_{14}=0\quad \longrightarrow \quad a_{13}=-1$

  어랏? 규칙이다!

  $⋮$$\vdots$

  $a_{10}=-4$$a_{10}=-4$ 여기서 분기점이 발생한다...제길

• $\begin{array}{c}{a}_{10}=\{\begin{array}{ll}{a}_9-3a_3& (a_9>0)\\ a_9+1& (a_9\le 0)\end{array}\end{array}$$a_{10}=\begin{cases} a_9-3a_3& (a_9>0)\\ a_9+1&(a_9\le 0)\end{cases}$

  이제 어쩌지...? 뭐 어쩌긴....막혔으니 다시 반대로 차근차근 해봐야지...

• $a_3=1-a_1$$a_3=1-a_1$

• $a_4=2-a_1$$a_4=2-a_1$

• $\begin{array}{c}{a}_5=\{\begin{array}{ll}{a}_4-2a_2=2+a_1& (a_1<2)\\ 3-a_1& (a_1\ge 2)\end{array}\end{array}$$a_5=\begin{cases} a_4-2a_2=2+a_1&(a_1<2)\\ 3-a_1&(a_1\ge 2)\end{cases}$

이제부터 $a_9$$a_9$까지 경우를 나누면서 전진을 하자 ㅜ.ㅜ 규칙에 따라 대입하고 최대한 $a_1$$a_1$으로 표현하고 순서는 지금의 순서와 동일하게 $a_1<2,a_1\ge 2$$a_1<2,~a_1\ge 2$인 순으로 작성하겠다....중간 계산은 생략....시벌..

• $\begin{array}{c}{a}_6=\{\begin{array}{l}3+a_1\\ 4-a_1\end{array}\end{array}$$a_6=\begin{cases} 3+a_1\\ 4-a_1\end{cases}$

• $\begin{array}{c}{a}_7=\{\begin{array}{l}4+a_1\\ 5-a_1\end{array}\end{array}$$a_7=\begin{cases} 4+a_1\\ 5-a_1\end{cases}$

• $\begin{array}{c}{a}_8=\{\begin{array}{l}5+a_1\\ 6-a_1\end{array}\end{array}$$a_8=\begin{cases} 5+a_1\\ 6-a_1\end{cases}$

• $\begin{array}{c}{a}_9=\{\begin{array}{l}6+a_1\\ 7-a_1\end{array}\end{array}$$a_9=\begin{cases} 6+a_1\\ 7-a_1\end{cases}$

도달했다!!

iii. $a_1<2$$a_1<2$인 경우

• $\begin{array}{c}{a}_{10}=-4=\{\begin{array}{l}6+a_1-3(1-a_1)\\ 6+a_1+1\end{array}\end{array}$$a_{10}=-4=\begin{cases} 6+a_1-3(1-a_1) \\ 6+a_1+1\end{cases}$

  $a_1=-\frac{7}{4},-11$$a_1=-\cfrac 74,~-11$

  둘 다 $a_1<0$$a_1<0$이고 각각 $a_9$$a_9$의 조건에도 맞아떨어진다.

iv. $a_1\ge 2$$a_1\ge 2$인 경우

• $\begin{array}{c}{a}_{10}=-4=\{\begin{array}{l}(7-a_1)-3(1-a_1)\\ 7-a_1+1\end{array}\end{array}$$a_{10}=-4=\begin{cases}(7-a_1)-3(1-a_1)\\ 7-a_1+1 \end{cases}$

  $a_1=-4,12$$a_1=-4,~12$

  그런데 $a_1\ge 2$$a_1\ge 2$이므로 $a=12$$a=12$이고, 이는 $a_9$$a_9$의 조건에도 맞아떨어진다.

아..더러웠다.

v. 계산

$\therefore -\frac{7}{4}\times -11\times 12=231$$\therefore~ -\cfrac 74\times -11\times 12=231$