2025학년도 06월 20번

20. 5이하의 두 자연수 $a,b$$a,~b$에 대하여 열린구간 $(0,2\pi )$$(0,~2\pi)$에서 정의된 함수 $y=a\sin x+b$$y=a\sin x+b$의 그래프가 직선 $x=\pi$$x=\pi$와 만나는 점의 집합을 $A$$A$라 하고, 두 직선 $y=1,y=3$$y=1,~y=3$과 만나는 점의 집합을 각각 $B,C$$B,~C$라 하자. $n(A\cup B\cup C)=3$$n(A\cup B\cup C)=3$이 되도록 하는 $a,b$$a,~b$의 순서쌍 $(a,b)$$(a,~b)$에 대하여 $a+b$$a+b$의 최댓값을 $M$$M$, 최솟값을 $m$$m$이라 할 때, $M\times m$$M\times m$의 값을 구하시오.

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i. 생각

• $n(A)=1$$n(A)=1$

• $-a+b\le y\le a+b$$-a+b\le y\le a+b$

• 사인함수의 특성상 $y=1$$y=1$ 또는 $y=3$$y=3$인 지점에서 한 점 또는 두 점에서 만날 것이다.

결국 가능한 경우는

1. $y=1,y=3,x=\pi$$y=1,~y=3,~x=\pi$에서 각각 한번씩 만나거나

2. $y=1$$y=1$ 또는 $y=3$$y=3$에서 두 점에서 만나고 $x=\pi$$x=\pi$와 만난다.

ii. 접근

• $(1,2)$$(1,2)$일 때 처음으로 $n(A\cup B\cup C)=3$$n(A\cup B\cup C)=3$을 만족시킨다.

  $\therefore m=3$$\therefore~ m=3$

이제 $M$$M$의 값을 구하면 되니까, $a=5$$a=5$에서 부터 시작하자. 함수의 최대$\cdot$$\cdot$최소 중 어떤 경우에 두 점에서만 만날 지를 생각하면 함수의 최솟값이 $1$$1$보다는 크고 $3$$3$보다 작으면 되겠다. (그래프 그려보자. 귀찮다.)

• $a=5$$a=5$이면 $-5+b\le y\le 5+b$$-5+b\le y\le 5+b$를 생각하자.

  $1<-5+b<3$$1<-5+b<3$을 만족해야 가능한데 부등식을 풀면, $6<b<8$$6<b<8$로 불가능하다.

• $a=4$$a=4$이면 $-4+b\le y\le 4+b$$-4+b\le y\le 4+b$를 생각하면,

  $1<-4+b<3⟶5<b<7$$1<-4+b<3\quad \longrightarrow \quad 5<b<7$로 역시 불가능하다.

• $a=3$$a=3$이면 $-3+b\le y\le 3+b$$-3+b\le y\le 3+b$에서

  $1<-3+b<3⟶4<b<8$$1<-3+b<3\quad \longrightarrow \quad 4<b<8$

  $b=5$$b=5$이면 가능하다.

  $\therefore (3,5)$$\therefore~ (3,~5)$이면 가능하므로 $M=8$$M=8$이다.

iii. 계산

$\therefore M\times m=24$$\therefore~ M\times m=24$