2024년 05월 기하 29번

29. 그림과 같이 초점이 $F$$F$인 포물선 $y^2=8x$$y^2=8x$와 이 포물선 위의 제$1$$1$사분면에 있는 점 $P$$P$가 있다. 점 $P$$P$를 초점으로 하고 준선이 $x=k$$x=k$인 포물선 중 점 $F$$F$를 지나는 포물선을 $C$$C$라 하자. 포물선 $y^2=8x$$y^2 =8x$와 포물선 $C$$C$가 만나는 두 점을 $Q,R$$Q,~R$이라 할 때, 사각형 $PRFQ$$PRFQ$의 둘레의 길이는 $18$$18$이다. 삼각형 $OFP$$OFP$의 넓이를 $S$$S$라 할 때, $S^2$$S^2$의 값을 구하시오. (단, $k$$k$는 점 $P$$P$의 $x$$x$ 좌표보다 크고, $O$$O$는 원점이다.)

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i. 생각

• 당연히 포물선 문제니까! 준선을 그려본 후 생각해야겠다.

  

  이제 포물선의 정의를 이용하여 표현해보자.

  • 사각형 $PRFQ$$PRFQ$의 둘레의 길이을 이용하자.

    $\overline{PR}=\overline{R{H}_4}$$\overline{PR}=\overline{RH_4}$

    $\overline{FR}=\overline{R{H}_3}$$\overline{FR}=\overline{RH_3}$

    $\overline{FQ}=\overline{Q{H}_1}$$\overline{FQ}=\overline{QH_1}$

    $\overline{PR}=\overline{Q{H}_2}$$\overline{PR}=\overline{QH_2}$

    $\begin{array}{rl}\overline{PR}+\overline{FR}+\overline{FQ}+\overline{PR}& =\overline{R{H}_4}+\overline{R{H}_3}+\overline{Q{H}_1}+\overline{Q{H}_2}\\ & =\overline{H_1{H}_2}+\overline{H_3{H}_4}\\ & =2(2+k)\\ & =18\end{array}$$\begin{aligned} \overline{PR}+\overline{FR}+\overline{FQ}+\overline{PR}&=\overline{RH_4}+\overline{RH_3}+\overline{QH_1}+\overline{QH_2}\\ &= \overline{H_1H_2}+\overline{H_3H_4}\\ &=2(2+k) \\ &=18\end{aligned}$

    $\therefore k=7$$\therefore~ k=7$

  • $\mathrm{△}OFP$$\triangle OFP$의 넓이를 생각하자.

    $\overline{OF}=2$$\overline{OF}=2$ 임을 알고 있으니까 $P$$P$의 $y$$y$좌표만 구하면 된다!

    

    • $y^2=8x$$y^2=8x$와 포물선 $C$$C$를 기준으로 생각하면,

      $\overline{FP}=\overline{P{T}_2}$$\overline{FP}=\overline{PT_2}$

      $\overline{FP}=\overline{F{T}_1}$$\overline{FP}=\overline{FT_1}$

      그런데, $\overline{OF}=2$$\overline{OF}=2$이므로, $\overline{F{T}_1}=\overline{P{T}_2}=\overline{FP}=5$$\overline{FT_1}=\overline{PT_2}=\overline{FP}=5$

      $\therefore P$$\therefore~ P$의 $x$$x$좌표는 $3$$3$이다.

    • $P$$P$의 $y$$y$의 좌표를 계산하자.

      $y^2=8\cdot 3$$y^2 =8\cdot 3$

      $\therefore P(3,2\sqrt{6})$$\therefore~ P(3,~2\sqrt 6)$

ii. 계산

$S=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2\sqrt{6}=2\sqrt{6}$$S=\cfrac 12 \cdot 2\cdot 2\sqrt 6=2\sqrt 6$

$\therefore S^2=24$$\therefore~ S^2 =24$