2024년 05월 미적분 29번

29. 그림과 같이 길이가 $3$$3$인 선분 $AB$$AB$를 삼등분하는 점 중 $A$$A$와 가까운 점을 $C$$C$, $B$$B$와 가까운 점을 $D$$D$라 하고, 선분 $BC$$BC$를 지름으로 하는 원을 $O$$O$라 하자. 원 $O$$O$ 위의 점 $P$$P$를 $\mathrm{\angle }BAP=\theta (0<\theta <\frac{\pi }{6})$$\angle BAP=\theta~(0<\theta<\cfrac {\pi}6)$가 되도록 잡고, 두 점 $P,D$$P,~D$를 지나는 직선이 원 $O$$O$와 만나는 점 중 $P$$P$가 아닌 점을 $Q$$Q$라 하자. 선분 $AQ$$AQ$의 길이를 $f(\theta )$$f(\theta)$라 할 때, $\cos {\theta }_0=\frac{7}{8}$$\cos \theta_0=\cfrac78$인 ${\theta }_0$$\theta_0$에 대하여 $f^{\prime }({\theta }_0)=k$$f'(\theta_0)=k$이다. $k^2$$k^2$의 값을 구하시오. (단, $\mathrm{\angle }APD<\frac{\pi }{2}$$\angle APD<\cfrac {\pi}2$이고 $0<{\theta }_0<\frac{\pi }{6}$$0<\theta_0<\cfrac {\pi}6$이다.)

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i. 생각

• $\cos {\theta }_0=\frac{7}{8},\sin {\theta }_0=\frac{\sqrt{15}}{8}$$\cos \theta_0=\cfrac 78,~\sin \theta_0=\cfrac {\sqrt{15}}8$

• $\mathrm{\angle }ADQ=\alpha ,\mathrm{\angle }APD=\beta$$\angle ADQ=\alpha,~\angle APD=\beta$라 하자. 삼각형 $\mathrm{△}ADQ$$\triangle ADQ$에 대해 코사인 제2법칙을 이용하면,

  $f(\theta {)}^2={\overline{AD}}^2+{\overline{DQ}}^2-2\overline{AD}\cdot \overline{DQ}\cos \alpha$$f(\theta)^2 =\overline{AD}^2 +\overline{DQ}^2 -2\overline{AD}\cdot \overline{DQ} \cos \alpha$

  그리고 $\overline{AD}=2,\overline{DQ}=1$$\overline{AD}=2,~\overline{DQ}=1$

  $\alpha ,\beta$$\alpha,~\beta$를 $\theta$$\theta$와 연결시켜야 하는데....

  • $\alpha =\theta +\beta$$\alpha=\theta+\beta$

  • $\mathrm{△}ADP$$\triangle ADP$에 사인법칙을 이용하면,

    $\frac{2}{\sin \beta }=\frac{1}{\sin \theta }$$\cfrac 2{\sin \beta} =\cfrac 1{\sin\theta}$

    $\therefore \sin \beta =2\sin \theta$$\therefore~ \sin\beta=2\sin\theta$

대충 할 건 다 한 것 같으니 이제 미분을 하자!

• $2f(\theta )f^{\prime }(\theta )=4\sin (\theta +\beta )+4\sin (\theta +\beta )\frac{d\beta }{d\theta }$$2f(\theta)f'(\theta)=4\sin (\theta+\beta)+4\sin(\theta+\beta)\cfrac{d\beta}{d\theta}$

  어랏...좀 더럽다?

  깔끔히 정리하자.

  $2f(\theta )f^{\prime }(\theta )=4\sin (\theta +\beta )(1+\frac{d\beta }{d\theta })$$2f(\theta)f'(\theta)=4\sin(\theta+\beta)(1+\cfrac {d\beta}{d\theta})$

• $\frac{d\beta }{d\theta }$$\cfrac{d\beta}{d\theta}$를 구하자.

  $\cos \beta d\beta =2\cos \theta d\theta$$\cos\beta d\beta =2\cos \theta d\theta$

  $\therefore \frac{d\beta }{d\theta }=2\frac{\cos \theta }{\cos \beta }$$\therefore~ \cfrac{d\beta}{d\theta} =2\cfrac{\cos \theta}{\cos \beta}$

$\therefore 2f(\theta )f^{\prime }(\theta )=4\sin (\theta +\beta )(1+2\frac{\cos \theta }{\cos \beta })$$\therefore~ 2f(\theta)f'(\theta)=4\sin(\theta+\beta)(1+2\cfrac{\cos \theta}{\cos \beta})$​

ii. 계산

• $\sin \beta =2\cdot \sin \theta =2\frac{\sqrt{15}}{8}=\frac{\sqrt{15}}{4}$$\sin \beta=2\cdot \sin \theta =2\cfrac {\sqrt {15}}8=\cfrac {\sqrt {15}}4$

• $\cos \beta =\frac{1}{4}$$\cos \beta =\cfrac 14$

이를 이용하여 $f({\theta }_0)=\sqrt{6}$$f(\theta_0)=\sqrt 6$을 구할 수 있고,

마지막 계산들을 하면,

$\therefore f^{\prime }({\theta }_0{)}^2=40$$\therefore~ f'(\theta_0)^2 =40$