2024년 05월 미적분 30번

30. 수열 $\{a_n\}$$\{a_n\}$은 공비가 $0$$0$이 아닌 등비수열이고, 수열 $\{b_n\}$$\{b_n\}$을 모든 자연수 $n$$n$에 대하여 $\begin{array}{c}{b}_n=\{\begin{array}{ll}{a}_n& (|a_n|<\alpha )\\ -\frac{5}{a_n}& (|a_n|\ge \alpha )\end{array}\end{array}$$b_n=\begin{cases} a_n&(|a_n|<\alpha)\\ -\cfrac 5{a_n}&(|a_n|\ge \alpha)\end{cases} \quad$($\alpha$$\alpha$는 양의 상수) 라 할 때, 두 수열 $\{a_n\},\{b_n\}$$\{a_n\},~\{b_n\}$과 자연수 $p$$p$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=4$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n=4$

(나) $\sum _{n=1}^m\frac{a_n}{b_n}$$\sum\limits_{n=1}^{m}\cfrac{a_n}{b_n}$의 값이 최소가 되도록 하는 자연수 $m$$m$은 $p$$p$이고, $\sum _{n=1}^p{b}_n=51,\sum _{n=p+1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n=\frac{1}{64}$$\sum\limits_{n=1}^pb_n=51,~\sum\limits_{n=p+1}^{\infty} b_n=\cfrac 1{64}$이다.

$32\times (a_3+p)$$32\times (a_3+p)$의 값을 구하시오.

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i. 생각

• $a_n=a{r}^{n-1}$$a_n=ar^{n-1}$이라 하면, $\frac{a}{1-r}=4⟶a=4(1-r)$$\cfrac a{1-r} =4\quad \longrightarrow \quad a=4(1-r)$

• $\frac{a_n}{b_n}$$\cfrac {a_n}{b_n}$을 구해보자.

  $\begin{array}{c}\frac{a_n}{b_n}=\{\begin{array}{ll}1& (|a_n|<\alpha )\\ -\frac{a_n^2}{5}& (|a_n|\ge \alpha \end{array}\end{array}$$\cfrac{a_n}{b_n}=\begin{cases} 1&(|a_n|<\alpha)\\ -\cfrac {a_n^2}5&(|a_n|\ge \alpha\end{cases}$

  $-\frac{a_n^2}{5}<0$$-\cfrac {a_n^2}5<0$이므로 $|a_n|\ge \alpha$$|a_n|\ge \alpha$를 만족시키는 가장 큰 값이 $p$$p$가 될 것이다. ($\because$$\because$ $p+1$$p+1$부터는 $\frac{a_n}{b_n}=1$$\cfrac {a_n}{b_n}=1$이 되어서 증가하기 시작한다.)

• $\sum _{n=1}^p{b}_n=51$$\sum\limits_{ n=1}^p b_n=51$을 이용하자.

  $b_n=-\frac{5}{a}(r^{-1}{)}^{n-1}$$b_n=-\cfrac 5a (r^{-1})^{n-1}$이고,

  $\sum _{n=1}^p{b}_n=\frac{-\frac{5}{a}(1-\frac{1}{r^p})}{1-\frac{1}{r}}=51$$\sum\limits_{ n=1}^pb_n=\cfrac {-\cfrac 5a(1-\cfrac 1{r^p})}{1-\cfrac 1r}=51$

  이 식을 정리하면,

  $5r(1-\frac{1}{r^p})=204(1-r{)}^2$$5r(1-\cfrac 1{r^p} )=204(1-r)^2$

• $\sum _{n=p+1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n=\frac{1}{64}$$\sum\limits_{n=p+1}^{\infty} b_n=\cfrac 1{64}$를 정리하자.

  $\begin{array}{rl}\sum _{n=p+1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n& =\frac{a{r}^p}{1-r}\\ & =\frac{4(1-r)r^p}{1-r}⟵a=4(1-r)\\ & =4r^p\\ & =\frac{1}{64}\end{array}$$\begin{aligned} \sum\limits_{n=p+1}^{\infty} b_n&=\cfrac {ar^p}{1-r}\\ &=\cfrac {4(1-r)r^p}{1-r}\quad \longleftarrow a=4(1-r)\\ &=4r^p\\&=\cfrac 1{64} \end{aligned}$

  $\therefore r^p=\frac{1}{256}$$\therefore~ r^p=\cfrac 1{256}$

ii. 계산

그냥 대입만 하면 풀리겠는데?

$5r(1-256)=204(1-r{)}^2$$5r(1-256)=204(1-r)^2$을 풀면,

$4r^2+17r+4=0$$4r^2 +17r+4=0$이고, 수렴하기 위한 조건 $|r|<1$$|r|<1$을 만족하는 근은 $r=-\frac{1}{4}$$r=-\cfrac 14$

$(-\frac{1}{4}{)}^p=\frac{1}{256}$$(-\cfrac 14)^p=\cfrac 1{256}$에서 $p=4$$p=4$

$\therefore a_n=5(-\frac{1}{4}{)}^{n-1}$$\therefore~ a_n=5(-\cfrac 14)^{n-1}$

$\therefore 32\times (\frac{5}{16}+4)=10+128=138$$\therefore~ 32\times(\cfrac 5{16}+4)=10+128=138$