2024년 05월 기하 30번

30. 그림과 같이 두 초점이 $F(c,0),F^{\prime }(-c,0)(c>0)$$F(c,~0),~F'(-c,~0)~(c>0)$인 타원 $E_1$$E_1$이 있다. 타원 $E_1$$E_1$의 꼭짓점 중 $x$$x$좌표가 양수인 점을 $A$$A$라 하고, 두 점 $A,F$$A,~F$를 초점으로 하고 점 $F^{\prime }$$F'$을 지나는 타원을 $E_2$$E_2$라 하자. 두 타원 $E_1,E_2$$E_1,~E_2$의 교점 중 $y$$y$좌표가 양수인 점 $B$$B$에 대하여 $\overline{B{F}^{\prime }}-\overline{BA}=\frac{1}{5}\overline{A{F}^{\prime }}$$\overline{ BF'}-\overline{ BA}=\cfrac 15 \overline{ AF'}$이 성립한다. 타원 $E_2$$E_2$의 단축의 길이가 $4\sqrt{3}$$4\sqrt 3$일 때, $30\times c^2$$30\times c^2$의 값을 구하시오.

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i. 생각

• 타원의 정의를 이용하기 위해서 $A(a,0)$$A(a,~0)$이라 하고 보조선을 그어보자.

  

  • 타원 $E_1$$E_1$에서

    $\overline{B{F}^{\prime }}+\overline{BF}=2a$$\overline{BF'}+\overline{BF}=2a$

  • 타원 $E_2$$E_2$에서

    $\overline{BF}+\overline{BA}=\overline{F^{\prime }F}+\overline{F^{\prime }A}=2c+a+c=3c+a$$\overline{BF}+\overline{BA}=\overline{F'F}+\overline{F'A}=2c+a+c=3c+a$

  어랏? 식을 장난질하면 조건식을 뽑아낼 수 있다!

  • $\overline{B{F}^{\prime }}-\overline{BA}=2a-(3c+a)=\frac{1}{5}\overline{A{F}^{\prime }}=\frac{1}{5}(c+a)$$\overline{BF'}-\overline{BA}=2a-(3c+a)=\cfrac 15 \overline{AF'}=\cfrac 15(c+a)$

    $5(a-3c)=c+a$$5(a-3c)=c+a$

    $\therefore a=4c$$\therefore~ a=4c$

• $\overline{FA}=3a$$\overline{FA}=3a$이고 이제 남은 조건인 단축의 길이 $4\sqrt{3}$$4\sqrt 3$을 이용해야겠다.

  • 타원 $E_2$$E_2$에서 두 초점으로부터 길이의 합은 $7c$$7c$이다!

  • $\overline{FB}=\overline{BA}$$\overline{ FB}=\overline{ BA}$이므로 $\overline{BA}=\frac{7}{2}c$$\overline{BA}=\cfrac 72 c$

  • $\overline{FA}$$\overline{FA}$의 중점을 $M$$M$이라 하면, $\overline{MB}=2\sqrt{3}$$\overline{ MB}=2\sqrt 3$이고 $\overline{MA}=\frac{3}{2}c$$\overline{MA}=\cfrac 32c$

ii. 계산

직각삼각형 $BMA$$BMA$에서 $c^2$$c^2$의 값을 구하면,

$(2\sqrt{3}{)}^2+(\frac{3}{2}c{)}^2=(\frac{7}{2}c{)}^2$$(2\sqrt 3)^2 +(\cfrac 32c)^2 =(\cfrac 72c)^2$

$c^2=\frac{6}{5}$$c^2=\cfrac 65$

$\therefore 30c^2=36$$\therefore~ 30c^2 =36$