2024년 05월 20번

20. 두 다항함수 $f(x),g(x)$$f(x),~g(x)$가 모든 실수 $x$$x$에 대하여 $xf(x)=(-\frac{1}{2}x+3)g(x)-x^3+2x^2$$xf(x)=\big(-\cfrac 12 x+3\big)g(x)-x^3+2x^2$을 만족시킨다. 상수 $k(k\ne 0)$$k(k\neq 0)$에 대하여 $\underset{x\to 2}{lim}\frac{g(x-1)}{f(x)-g(x)}\times \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\{f(x){\}}^2}{g(x)}=k$$\lim\limits_{x\to 2} \cfrac{g(x-1)}{f(x)-g(x)}\times \lim\limits_{x\to \infty} \cfrac {\{f(x)\}^2}{g(x)}=k$일 때, $k$$k$의 값을 구하시오.

---

i. 생각

• $f(x),g(x)$$f(x),~g(x)$의 차수를 정하자.

  $g(x)$$g(x)$를 기준으로 생각하는 게 편할 거 같은데? $g(x)$$g(x)$의 차수가 정해지면 그에 따라 $f(x)$$f(x)$의 차수가 정해지니까..

  • $g(x)$$g(x)$가 1차인 경우

    우변은 삼차가 되고 $f(x)$$f(x)$는 이차식이 된다. 그러면, 마지막 계산 조건에서 극한값이 존재하지 않는다!

  • $g(x)$$g(x)$가 2차인 경우

    우변에서 삼차항이 사라지면 $f(x)$$f(x)$는 1차식이고 이는 마지막 계산식에서 극한값이 존재한다.

    우변에서 삼차항히 사라지지 않으면 $f(x)$$f(x)$는 2차식이고 극한값이 존재하지 않는다!!

  $\therefore f(x)$$\therefore~ f(x)$는 일차식이고 $g(x)$$g(x)$는 이차항의 계수가 $-2$$-2$인 다항식이다.

• 둘 다 다항식이라 했으니까 양변을 $x$$x$로 나누어 보면,

  $f(x)=(-\frac{1}{2}x+3)\frac{g(x)}{x}-x^2+2x$$f(x)=\big(-\cfrac 12 x+3\big)\cfrac{g(x)}x-x^2+2x$이다.

  그런데, $f(x)$$f(x)$는 다항식이므로, $g(x)$$g(x)$는 상수항을 가지지 않는다!

  $\therefore g(x)=-2x^2+ax$$\therefore~ g(x)=-2x^2 +ax$

• $\underset{x\to 2}{lim}\frac{g(x-1)}{f(x)-g(x)}$$\lim\limits_{x\to 2} \cfrac{g(x-1)}{f(x)-g(x)}$를 살펴보자.

  • $x=2$$x=2$를 대입해보면,

    $2f(2)=2g(2)$$2f(2)=2g(2)$

    즉, $f(2)-g(2)=0$$f(2)-g(2)=0$이고 $g(1)=0$$g(1)=0$임을 알 수 있다.

    $\therefore g(x)=-2x^2+2x$$\therefore~ g(x)=-2x^2 +2x$

어랏? $f(x)$$f(x)$도 구해지겠는데??? 구하자.

• $f(x)=(-\frac{1}{2}x+3)\frac{g(x)}{x}-x^2+2x$$f(x)=\big(-\cfrac 12 x+3\big)\cfrac{g(x)}x-x^2+2x$를 계산하자.

  $f(x)=-5x+6$$f(x)=-5x+6$

  물론 그냥 $xf(x)=(-\frac{1}{2}x+3)g(x)-x^3+2x^2$$xf(x)=\big(-\cfrac 12 x+3\big)g(x)-x^3+2x^2$의 식에서 2차항의 계수만 비교하면 된다....그러면, $f(x)=-5x+b$$f(x)=-5x+b$

ii. 계산하자.

• $\underset{x\to 2}{lim}\frac{g(x-1)}{f(x)-g(x)}$$\lim\limits_{x\to 2} \cfrac{g(x-1)}{f(x)-g(x)}$를 계산하자.

  귀찮으니까 로피탈의 정리를 쓰자.

  $\underset{x\to 2}{lim}\frac{g^{\prime }(x-1)}{f^{\prime }(x)-g^{\prime }(x)}=\frac{g^{\prime }(1)}{f^{\prime }(2)-g^{\prime }(2)}$$\lim\limits_{ x\to 2} \cfrac{g'(x-1)}{f'(x)-g'(x)}=\cfrac {g'(1)}{f'(2)-g'(2)}$

  $⟵g^{\prime }(x)=-4x+2$$\longleftarrow \quad g'(x)=-4x +2$

  $\therefore \frac{-2}{-5-(-6)}=-2$$\therefore~ \cfrac{-2}{-5-(-6)}=-2$

• $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\{f(x){\}}^2}{g(x)}$$\lim\limits_{x\to \infty} \cfrac {\{f(x)\}^2}{g(x)}$를 계산하자.

  $\frac{25}{-2}$$\cfrac{25}{-2}$

$\therefore -2\times -\frac{25}{2}=25$$\therefore~ -2\times -\cfrac {25}2=25$