2025학년도 06월 21번

21. 최고차항의 계수가 $1$$1$인 사차함수 $f(x)$$f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $f^{\prime }(a)\le 0$$f'(a)\le 0$인 실수 $a$$a$의 최댓값은 $2$$2$이다.

(나) 집합 $\{x|f(x)=k\}$$\{x|f(x)=k\}$의 원소의 개수가 $3$$3$ 이상이 되도록 하는 실수 $k$$k$의 최솟값은 $\frac{8}{3}$$\cfrac 83$이다.

$f(0)=0,f^{\prime }(1)=0$$f(0)=0,~f'(1)=0$일 때, $f(3)$$f(3)$의 값을 구하시오.

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i. 생각

• $f^{\prime }(x)=0$$f'(x)=0$의 근은 $x=1,x=2$$x=1,~x=2$이고 나머지 한 근을 $\alpha$$\alpha$라 하면 $\alpha <2$$\alpha <2$이다. (조건 (나)에 의해 등호는 붙지 않는다.)

• $f(x)=k$$f(x)=k$의 근이 $3$$3$개가 나와야 하므로 그래프 개형은 다음과 같다고 유추할 수 있다.

  

  이를 토대로 그래프 개형을 생각하면,

  

  의 형태가 되서 $f(2)=\frac{8}{3}$$f(2)=\cfrac83$이거나 $f(\alpha )=\frac{8}{3}$$f(\alpha)=\cfrac 83$을 만족시키면 되겠다. 뭐 제발 계산 편한 걸로 되주라...

ii. 접근

• $f^{\prime }(x)=4(x-\alpha )(x-1)(x-2)$$f'(x)=4(x-\alpha)(x-1)(x-2)$로 두고 $f(x)$$f(x)$를 구하면, (계산 생략....)

  $f(x)=x^4-\frac{4}{3}(3+\alpha )x^3+2(2+3\alpha )x^2-8\alpha x(\because f(0)=0)$$f(x)=x^4 -\cfrac 43 (3+\alpha)x^3 +2(2+3\alpha)x^2 -8\alpha x\quad (\because f(0)=0)$

$f(\alpha )=\frac{8}{3}$$f(\alpha)=\cfrac83$을 계산하기는...너무나 싫다...우선 $f(2)=\frac{8}{3}$$f(2)=\cfrac 83$을 계산해서 $|2-1|$$|2-1|$과 $|1-\alpha |$$|1-\alpha|$의 크기를 비교해서 더 크기를 빌자....

• $f(2)=\frac{8}{3}$$f(2)=\cfrac 83$을 대입해서 $\alpha$$\alpha$를 구하자. (계산 생략....)

  $\alpha =-1$$\alpha=-1$

  야호~! 이 경우다!!!!

$\therefore f(x)=x^4-\frac{8}{3}{x}^3-2x^2+8x$$\therefore~ f(x)=x^4-\cfrac 83 x^3 -2x^2 +8x$

$\therefore f(3)=15$$\therefore~ f(3)=15$