2025학년도 06월 미적분 29번

29. 함수 $f(x)=\frac{1}{3}{x}^3-x^2+\ln (1+x^2)+a(a$$f(x)=\cfrac 13 x^3 -x^2 +\ln (1+x^2)+a~(a$는 상수$)$$)$와 두 양수 $b,c$$b,~c$에 대하여 함수 $\begin{array}{c}g(x)=\{\begin{array}{ll}f(x)& (x\ge b)\\ -f(x-c)& (x<b)\end{array}\end{array}$$g(x)=\begin{cases} f(x)&(x\ge b)\\ -f(x-c)&(x<b)\end{cases}$는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다. $a+b+c=p+q\ln 2$$a+b+c=p+q\ln 2$일 때, $30(p+q)$$30(p+q)$의 값을 구하시오. (단, $p,q$$p,~q$는 유리수이고, $\ln 2$$\ln 2$는 무리수이다.)

---

i. 생각

• $y=-f(x-c)$$y=-f(x-c)$의 그래프는 $x$$x$축으로 $c$$c$만큼 이동후에 $x$$x$축에 대해서 대칭인 함수이다.

  어? 가장 간단한 건 극값을 잘 움직이고 대칭시켜서 겹치게 만드는 거 같은데?

• 아무래도 함수가 $y$$y$절편을 빼놓고 주어졌으니까 머 극값을 구해보란 소리겠지?

  $\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =x^2-2x+\frac{2x}{1+x^2}\\ & =\frac{x^2(x-1{)}^2}{1+x^2}\end{array}$$\begin{aligned} f'(x)&=x^2 -2x +\cfrac{2x}{1+x^2}\\ &=\cfrac{x^2 (x-1)^2}{1+x^2}\end{aligned}$

  헐...깔끔한데?

ii. 접근

• 딱 봐도...$c=1$$c=1$이겠다? 그리고 $b=1$$b=1$이겠는데?

  $f^{\prime }(x)=0$$f'(x)=0$이 될 때가 $x=0,1$$x=0,~1$에서 발생한다.

  $(0,f(0))$$(0,~f(0))$의 점이 $x$$x$축으로 $1$$1$만큼 이동하고 $x$$x$축에 대칭했을 때의 값이 $f(1)$$f(1)$과 같으면 문제의 조건을 정확하게 일치시킨다.

• $y$$y$절편인 $a$$a$의 값은 그냥 $\frac{f(0)+f(1)}{2}=0$$\cfrac{f(0)+f(1)}2=0$이면 되겠는데?

  $f(0)+f(1)=0$$f(0)+f(1)=0$을 이용하면,

  $a+\frac{1}{3}-1+\ln 2+a=0$$a+\cfrac 13-1+\ln 2+a=0$

  $\therefore a=\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\ln 2$$\therefore~ a=\cfrac 13 -\cfrac 12 \ln 2$

$\therefore a+b+c=\frac{7}{3}-\frac{1}{2}\ln 2$$\therefore~ a+b+c=\cfrac 73-\cfrac 12\ln 2$

$\therefore 30(p+q)=30(\frac{7}{3}-\frac{1}{2})=70-15=55$$\therefore~ 30(p+q)=30(\cfrac 73 -\cfrac 12)=70-15=55$