2024년 05월 21번

21. 그림과 같이 중심이 $O$$O$, 반지름의 길이가 $6$$6$이고 중심각의 크기가 $\frac{\pi }{2}$$\cfrac{\pi}2$인 부채꼴 $OAB$$OAB$가 있다. 호 $AB$$AB$ 위에 점 $C$$C$를 $\overline{AC}=4\sqrt{2}$$\overline{AC}=4\sqrt 2$가 되도록 잡는다. 호 $AC$$AC$ 위의 한 점 $D$$D$에 대하여 점 $D$$D$를 지나고 선분 $OA$$OA$에 평행한 직선과 점 $C$$C$를 지나고 선분 $AC$$AC$에 수직인 직선이 만나는 점을 $E$$E$라 하자. 삼각형 $CED$$CED$의 외접원의 반지름의 길이가 $3\sqrt{2}$$3\sqrt 2$일 때, $\overline{AD}=p+q\sqrt{7}$$\overline{AD}=p+q\sqrt 7$을 만ㄱ시키는 두 유리수 $p,q$$p,~q$에 대하여 $9\times |p\times q|$$9\times |p\times q|$의 값을 구하시오. (단, 점 $D$$D$는 점 $A$$A$도 아니고 점 $C$$C$도 아니다.)

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i. 생각

• 우선 원에 관련한 도형문제니까 사용할 수 있는 것들을 떠올려두자

  • 원주각

  • 사인법칙

  • 코사인 제2법칙

• 이제 그을만한 보조선을 그어보자.

  

  • $\overline{AC}\mathrm{\perp }\overline{OH}$$\overline{AC}\bot \overline{OH}$ : 수선의 발 하나는 그어봐야겠지?

  • $\overline{OC}$$\overline{OC}$ : 그냥 습관적으로 그어보게 되지 않나?

ii. 구하자

• $\overline{AD}$$\overline{AD}$를 구하기 위해서 이미 알거나 알 수 있는 것들을 정리해보자.

  • $\overline{AC}=4\sqrt{2},\overline{HA}=\overline{HC}=2\sqrt{2}$$\overline{AC}=4\sqrt 2,~\overline{HA}=\overline{HC}=2\sqrt 2$

  • $\overline{CD}$$\overline{CD}$와 $\mathrm{△}ACD$$\triangle ACD$의 각들 중 한 각의 코사인 값을 알면 된다!

    • $\overline{AC}$$\overline{ AC}$의 원주각인가?

      $\mathrm{\angle }ADC$$\angle ADC$를 구할 수 있을까?

      $\mathrm{\angle }AOH=\mathrm{\angle }HOC=\mathrm{\angle }DEC$$\angle AOH=\angle HOC=\angle DEC$

      $⟶$$\longrightarrow \quad$어? $\mathrm{△}CED$$\triangle CED$의 외접원의 반지름의 길이가 주어져있다??

      $⟶$$\longrightarrow \quad$ $\sin \mathrm{\angle }DEC$$\sin \angle DEC$를 구할 수 있다!

    • $\mathrm{△}OAH$$\triangle OAH$에서 해당 사인값을 구하고 사인법칙을 이용해 $\overline{CD}$$\overline{ CD}$의 길이를 구하자.

      $\sin \mathrm{\angle }AOH=\frac{\sqrt{2}}{3}$$\sin \angle AOH=\cfrac{\sqrt 2}3$

      $\frac{\overline{CD}}{\sin \mathrm{\angle }AOH}=6\sqrt{2}$$\cfrac {\overline{CD}}{\sin \angle AOH}=6\sqrt 2$

      $\therefore \overline{CD}=4$$\therefore~ \overline{CD}=4$

  • $\mathrm{△}ACD$$\triangle ACD$에서 구할 수 있는 코사인값이 있을까?

    어? $\mathrm{\angle }CDA$$\angle CDA$를 보면,

    $\begin{array}{rl}\mathrm{\angle }CDA& =\frac{1}{2}({360}^{\circ }-2\mathrm{\angle }CED)\\ & ={180}^{\circ }-\mathrm{\angle }CED\end{array}$$\begin{aligned} \angle CDA&=\cfrac 12 (360^{\circ}-2\angle CED)\\ &=180^{\circ} -\angle CED\end{aligned}$

    $\begin{array}{rl}\cos \mathrm{\angle }CDA& =\cos ({180}^{\circ }-\mathrm{\angle }CED)\\ & =-\cos \mathrm{\angle }CED\\ & =-\frac{\sqrt{7}}{3}\end{array}$$\begin{aligned} \cos \angle CDA&=\cos (180^{\circ} -\angle CED) \\ &=-\cos\angle CED\\ &=-\cfrac{\sqrt 7}3\end{aligned}$​

• 이제 코사인 제2법칙을 쓰자.

  계산 생략!

  $\therefore \overline{AD}=\frac{16}{3}-\frac{4}{3}\sqrt{7}$$\therefore~ \overline{AD}=\cfrac {16}3 -\cfrac 43 \sqrt 7$

  $\therefore 9\times \frac{16}{3}\times \frac{4}{3}=64$$\therefore~ 9\times \cfrac{16}3\times \cfrac43=64$