2024년 05월 14번

14. 최고차항의 계수가$1$$1$인 삼차함수 $f(x)$$f(x)$와 실수 $t$$t$에 대하여 곡선 $y=f(x)$$y=f(x)$ 위의 점 $(t,f(t))$$(t,~f(t))$에서의 접선의 절편을 $g(t)$$g(t)$라 하자. 두 함수 $f(x),g(t)$$f(x),~g(t)$가 다음 조건을 만족시킨다.

$|f(k)|+|g(k)|=0$$|f(k)|+|g(k)|=0$을 만족시키는 실수 $k$$k$의 개수는 $2$$2$이다.

$4f(1)+2g(1)=-1$$4f(1)+2g(1)=-1$일 때, $f(4)$$f(4)$의 값을 구하시오.

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i. 생각

• $|f(k)|+|g(k)|=0$$|f(k)|+|g(k)|=0$

  당연히 $|f(k)|\ge 0,|g(k)|\ge 0$$|f(k)|\ge 0,~|g(k)|\ge 0$이므로 $f(k)=g(k)=0$$f(k)=g(k)=0$이어야만 하고, 이를 만족하는 $k$$k$의 개수가 $2$$2$개이다.

  $f(x)=0$$f(x)=0$의 실근에서의 접선의 $y$$y$절편도 $0$$0$이어야 한다.

  즉, 한 근은 $0$$0$이고 나머지 근은 극값이 되어야 한다!

• 그럼 이제 그래프를 그릴 시간이다!

  

  이 두 가지 경우를 생각해볼 수 있고, 대충 봤을 때, $4f(1)+2g(1)=-1<0$$4f(1)+2g(1)=-1<0$을 만족하기 위해서는 후자일 가능성이 좀 더 높아보인다. 뭐 어찌되었든 굳이 경우를 나눌 필요는 없겠다?

  $f(x)=(x+\alpha {)}^{2}x$$f(x)=(x+\alpha)^2 x$이라 하자.

ii. 계산

$f^{\prime }(x)=(x+\alpha )(3x+\alpha )$$f'(x)=(x+\alpha)(3x+\alpha)$를 이용하여 $g(t)$$g(t)$를 구하자.

접선의 방정식 $y=f^{\prime }(t)(x-t)+f(t)$$y=f'(t)(x-t)+f(t)$에서 $g(t)$$g(t)$는 $x=0$$x=0$일 때!

$\therefore g(t)=-t{f}^{\prime }(t)+f(t)$$\therefore~ g(t)=-tf'(t)+f(t)$

 

$f(1)=(1+\alpha {)}^2,g(1)=-f^{\prime }(t)+f(1)=-2(1+\alpha )$$f(1)=(1+\alpha)^2,~g(1)=-f'(t)+f(1)=-2(1+\alpha)$

$⟵$$\longleftarrow$당연히 계산 생략....

 

$\begin{array}{rl}4f(1)+2g(1)& =4+8\alpha +4{\alpha }^2-4-4\alpha \\ & =-1\end{array}$$\begin{aligned} 4f(1)+2g(1)&= 4+8\alpha+4\alpha^2 -4-4\alpha \\ &=-1\end{aligned}$

$\alpha$$\alpha$를 풀면,

$\alpha =-\frac{1}{2}$$\alpha=-\cfrac 12$

$\therefore f(x)=x(x-\frac{1}{2}{)}^2$$\therefore~ f(x)=x(x-\cfrac 12)^2$

$\therefore f(4)=4\cdot (4-\frac{1}{2}{)}^2=4\cdot \frac{49}{4}=49$$\therefore~ f(4)=4\cdot (4-\cfrac 12)^2 =4\cdot \cfrac {49}4=49$