2024학년도 11월 기하 30번

30. 좌표평면에 한 변의 길이가 $4$$4$인 정삼각형 $ABC$$ABC$가 있다. 선분 $AB$$AB$를 $1:3$$1:3$으로 내분하는 점을 $E$$E$, 선분 $BC$$BC$를 $1:3$$1:3$으로 내분하는 점을 $E$$E$, 선분 $CA$$CA$를 $1:3$$1:3$으로 내분하는 점을 $F$$F$라 하자. 네 점 $P,Q,R,X$$P,~Q,~R,~X$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $|\overrightarrow{DP}|=|\overrightarrow{EQ}|=|\overrightarrow{FR}|=1$$|\overrightarrow{DP}|=|\overrightarrow{ EQ}|=|\overrightarrow{FR}|=1$

(나) $\overrightarrow{AX}=\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{QC}+\overrightarrow{RA}$$\overrightarrow{AX}=\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{QC}+\overrightarrow{RA}$

$|\overrightarrow{AX}|$$|\overrightarrow{AX}|$의 값이 최대일 때, 삼각형 $PQR$$PQR$의 넓이를 $S$$S$라 하자. $16S^2$$16S^2$을 구하시오.

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i. 생각

머 우선 그려보고 시각적으로 보면서 판단을 하자.

어우.....

아무래도 단위 벡터를 정하고 접근하면 되겠지..? 그냥 때려맞추기는 안 될까? 흠...그정도의 감각은 없구나..

• $\overrightarrow{a}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB},\overrightarrow{b}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$$\overrightarrow{a}=\cfrac 14 \overrightarrow{ AB},~\overrightarrow{b}=\cfrac 14 \overrightarrow{ AC}$라 하자.

• 그럼 이에 따라 각 벡터들을 표현해보자. (단, 편의상 $\overrightarrow{DP}=\overrightarrow{r_1},\overrightarrow{EQ}=\overrightarrow{r_2},\overrightarrow{FR}=\overrightarrow{r_3}$$\overrightarrow{DP}=\overrightarrow{r_1} ,~\overrightarrow{EQ}=\overrightarrow{r_2},~\overrightarrow{FR}=\overrightarrow{r_3}$라 하자.)

  • $\overrightarrow{PB}$$\overrightarrow{ PB}$

    $\overrightarrow{AB}=4\overrightarrow{a}$$\overrightarrow{ AB}=4\overrightarrow{ a}$

    $\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{r_1}$$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{r_1}$

    $\therefore \overrightarrow{PB}=4\overrightarrow{a}-(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{r_1})=3\overrightarrow{a}-\overrightarrow{r_1}$$\therefore~ \overrightarrow{PB}=4\overrightarrow{ a} -(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{r_1})=3\overrightarrow{a}-\overrightarrow{r_1}$

  • $\overrightarrow{QC}$$\overrightarrow{QC}$

    $\overrightarrow{AC}=4\overrightarrow{b}$$\overrightarrow{AC}=4\overrightarrow{b}$

    $\begin{array}{rl}\overrightarrow{AQ}& =\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{EQ}\\ & =4\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})+r_2\\ & =3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{r_2}\end{array}$$\begin{aligned} \overrightarrow{AQ}&=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{EQ}\\ &= 4\overrightarrow{a}+ (\overrightarrow{ b}-\overrightarrow{a})+r_2\\ &=3\overrightarrow{a}+ \overrightarrow{b} +\overrightarrow{r_2}\end{aligned}$

    $\therefore \overrightarrow{QC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AQ}=3\overrightarrow{b}-3\overrightarrow{a}-\overrightarrow{r_2}$$\therefore~ \overrightarrow{QC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{ AQ}=3\overrightarrow{b}-3\overrightarrow{ a}-\overrightarrow{r_2}$

  • $\overrightarrow{RA}$$\overrightarrow{RA}$

    $\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}$$\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}$

    $\overrightarrow{AR}=3\overrightarrow{b}+\overrightarrow{r_3}$$\overrightarrow{AR}=3\overrightarrow{b}+\overrightarrow{r_3}$

    $\therefore \overrightarrow{RA}=\overrightarrow{0}-3\overrightarrow{b}-\overrightarrow{r_3}=-3\overrightarrow{b}-\overrightarrow{r_3}$$\therefore~ \overrightarrow{RA}=\overrightarrow{0}-3\overrightarrow{b}-\overrightarrow{r_3}=-3\overrightarrow{ b}-\overrightarrow{ r_3}$

• $\overrightarrow{AX}$$\overrightarrow{AX}$를 계산하자.

  $\overrightarrow{AX}=-(\overrightarrow{r_1}+\overrightarrow{r_2}+\overrightarrow{r_3})$$\overrightarrow{ AX}=-(\overrightarrow{ r_1}+\overrightarrow{ r_2}+\overrightarrow{ r_3})$

  $|\overrightarrow{AX}|$$|\overrightarrow{ AX}|$가 최대가 되기 위해서는 $\overrightarrow{r_1},\overrightarrow{r_2},\overrightarrow{r_3}$$\overrightarrow{r_1},~\overrightarrow{r_2},~\overrightarrow{ r_3}$의 방향이 전부 같으면 된다.

  

  그냥 임의로 $\overrightarrow{AB}$$\overrightarrow{AB}$와 평항하게 $P$$P$의 위치를 잡았다.

  뭐..보아하니 그냥 $x$$x$축으로 $-1$$-1$만큼 이동하면 $\mathrm{△}PQR$$\triangle PQR$와 $\mathrm{△}DEF$$\triangle DEF$는 합동이네...뻘짓했다.

  정삼각형인 것은 너무 명확하니 한 변의 길이만 구해서 넓이를 구하도록 하자.

  $A$$A$의 좌표를 $(0,0)$$(0,0)$이라 하면, $D(1,0)$$D(1,0)$이고, $E(4-2\times \frac{1}{4},\frac{\sqrt{3}}{2})$$E(4-2\times \cfrac 14,~\cfrac {\sqrt 3}2)$

  $\therefore \overline{DE}=\sqrt{(\frac{5}{2}{)}^2+\frac{3}{4}}=\sqrt{\frac{28}{4}}=\sqrt{7}$$\therefore~ \overline{DE}=\sqrt{(\cfrac 52)^2+\cfrac 34}=\sqrt{\cfrac {28}4}=\sqrt 7$

$\therefore S=\frac{1}{2}\times \sqrt{7}\times \sqrt{7}\times \sin \frac{\pi }{3}=\frac{7}{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{7\sqrt{3}}{4}$$\therefore~ S=\cfrac 12 \times \sqrt 7 \times \sqrt 7\times \sin \cfrac {\pi}3=\cfrac 72\times \cfrac {\sqrt 3}2=\cfrac {7\sqrt 3}{4}$

$\therefore 16S^2=16\times \frac{49\times 3}{16}=147$$\therefore~ 16S^2 =16\times \cfrac {49\times 3}{16}=147$