2024학년도 11월 기하 29번

29. 양수 $c$$c$에 대하여 두 점 $F(c,0),F^{\prime }(-c,0)$$F(c,~0),~F'(-c,~0)$을 초점으로 하고, 주축의 길이가 $6$$6$인 쌍곡선이 있다. 이 쌍곡선 위에 다음 조건을 만족시키는 서로 다른 두 점 $P,Q$$P,~Q$가 존재하도록 하는 모든 $c$$c$의 값의 합을 구하시오.

(가) 점 $P$$P$는 제$1$$1$사분면 위에 있고, 점 $Q$$Q$는 직선 $P{F}^{\prime }$$PF'$ 위에 있다.

(나) 삼각형 $P{F}^{\prime }F$$PF'F$는 이등변삼각형이다.

(다) 삼각형 $PQF$$PQF$의 둘레의 길이는 $28$$28$이다.

---

i. 생각

생각은 무슨 그리고 생각해야지. 어...그리다 보니...두 경우가 발생하겠다?

• $\overline{P{F}^{\prime }}=\overline{F^{\prime }F}$$\overline{PF'}=\overline{F'F}$

  

  쌍곡선의 정의에 따라 각 변들의 길이를 정의하자.

  • $\overline{F{F}^{\prime }}=2c,\overline{F^{\prime }P}=2c⟶\overline{PF}=2c-6$$\overline{FF'}=2c,~\overline{F'P}=2c\quad \longrightarrow \quad \overline{PF}=2c-6$

  • $\overline{F^{\prime }Q}=a$$\overline{F'Q}=a$라 하면, $\overline{QF}=6+a$$\overline{QF}=6+a$

  이제 둘레의 길이가 $28$$28$인 조건을 이용하자.

  $(6+a)+(2c-a)+(2c-6)=28$$(6+a)+(2c-a)+(2c-6)=28$

  $4c=28$$4c=28$

  $\therefore c=7$$\therefore~ c=7$

• $\overline{F{F}^{\prime }}=\overline{PF}$$\overline{FF'}=\overline{PF}$

  

  쌍곡선의 정의에 따라 각변의 길이를 정의하자.

  • $\overline{F{F}^{\prime }}=2c=\overline{PF}⟶\overline{P{F}^{\prime }}=6+2c$$\overline{FF'} =2c=\overline{PF}\quad \longrightarrow \quad \overline{PF'}=6+2c$

  • $\overline{F^{\prime }Q}=a$$\overline{F'Q}=a$라 하면, $\overline{QF}=6+a$$\overline{QF}=6+a$

  이제 똑같이 둘레의 길이가 $28$$28$인 조건을 이용하자.

  $(6+a)+(2c)+(6+2c-a)=28$$(6+a)+(2c)+(6+2c-a)=28$

  $4c=16$$4c=16$

  $c=4$$c=4$

  그런데 삼각형이 성립할까?

  $\overline{P{F}^{\prime }}>\overline{F{F}^{\prime }}+\overline{PF}$$\overline{PF'}>\overline{FF'}+\overline{PF}$

  $14>8$$14>8$

  $\therefore c=4$$\therefore~ c=4$

$\therefore 7+4=11$$\therefore~ 7+4=11$