2023년 10월 기하 30번

30. 좌표공간에 구 $S:x^2+y^2+(z-\sqrt{5}{)}^2=9$$S:x^2 +y^2 +(z-\sqrt 5)^2 =9$가 $xyz$$xyz$ 평면과 만나서 생기는 원을 $C$$C$라 하자. 구 $S$$S$ 위의 네 점 $A,B,C,D$$A,~B,~C,~D$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 선분 $AB$$AB$는 원 $C$$C$의 지름이다.

(나) 직선 $AB$$AB$는 평면 $BCD$$BCD$에 수직이다.

(다) $\overline{BC}=\overline{BD}=\sqrt{15}$$\overline{ BC}=\overline{ BD}=\sqrt {15}$

삼각형 $ABC$$ABC$의 평면 $ABD$$ABD$ 위로의 정사영의 넓이를 $k$$k$라 할 때, $k^2$$k^2$의 값을 구하시오.

---

i.정리

구의 중심부터 보조선을 그어가면서 가능한 것들을 하자.

• 구의 중심을 $O$$O$

• 원 $C$$C$의 중심을 $J$$J$

• $O$$O$에서 평면 $BCD$$BCD$에 내린 수선의 발을 $L$$L$

• $B$$B$에서 $\overline{CD}$$\overline{CD}$에 내린 수선의 발을 $H$$H$라 하자.

그러면, 다음을 구할 수 있다.

• $\overline{OJ}=\sqrt{5},\overline{OB}=3⟶\overline{AB}=4$$\overline{OJ}=\sqrt 5,~\overline{ OB}=3\quad \longrightarrow \quad \overline{AB}=4$

• $\overline{JB}=\overline{OL}=2,\overline{OJ}=\overline{LB}=\sqrt{5}$$\overline{JB}=\overline{OL}=2,~\overline{OJ}=\overline{LB}=\sqrt 5$

  • 그리고 삼각형 $BCD$$BCD$의 외접원의 중심은 $L$$L$이다. ($\overline{OL}\mathrm{\perp }\mathrm{△}BCD$$\overline{OL} \bot \triangle BCD$)

    그러면, $\overline{OB}=\overline{OC}=\overline{OD}$$\overline{OB}=\overline{OC}=\overline{OD}$

    어?

    $\mathrm{△}BCD$$\triangle BCD$는 정삼각형이다.

ii. 평면 사이의 사잇각을 구하자.

이 공간도형을 $A,B$$A,~B$가 점으로 보이는 방향에서 쳐다보면,

이고 정삼각형이다.

$\therefore$$\therefore~$ 평면의 사잇각은 $\frac{\pi }{3}$$\cfrac {\pi}3$

iii. 계산

삼각형 $ABC$$ABC$의 넓이는 $\frac{1}{2}\cdot 4\cdot \sqrt{15}=2\sqrt{15}$$\cfrac 12 \cdot 4\cdot \sqrt {15}=2\sqrt {15}$

$\therefore S^{\prime }=S\cos \frac{\pi }{3}=2\sqrt{15}\cdot \frac{1}{2}=15$$\therefore~ S'=S\cos\cfrac{\pi}3=2\sqrt {15}\cdot \cfrac 12=15$