2024학년도 09월 기하 30번

30. 좌표평면에서 $\overline{AB}=\overline{AC}$$\overline{AB}=\overline{AC}$이고 $\mathrm{\angle }BAC=\frac{\pi }{2}$$\angle BAC=\cfrac{\pi}2$인 직각삼각형 $ABC$$ABC$에 대하여 두 점 $P,Q$$P,~Q$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 삼각형 $APQ$$APQ$는 정삼각형이고, $9|\overrightarrow{PQ}|\overrightarrow{PQ}=4|\overrightarrow{AB}|\overrightarrow{AB}$$9 |\overrightarrow{ PQ}|\overrightarrow{PQ}=4|\overrightarrow{AB}|\overrightarrow{AB}$이다.

(나) $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AQ}<0$$\overrightarrow{ AC}\cdot \overrightarrow{ AQ}<0$

(다) $\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{CB}=24$$\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{CB}=24$

선분 $AQ$$AQ$ 위의 점 $X$$X$에 대하여 $|\overrightarrow{XA}+\overrightarrow{XB}|$$|\overrightarrow{ XA}+\overrightarrow{XB}|$의 최솟값을 $m$$m$이라 할 때, $m^2$$m^2$의 값을 구하시오.

---

i. 정리

우선 대충 그리고 생각하자.

$\overrightarrow{AB}$$\overrightarrow{AB}$의 단위 벡터를 $\overrightarrow{a}$$\overrightarrow{ a}$라하고, $\overrightarrow{AC}$$\overrightarrow{AC}$의 단위 벡터를 $\overrightarrow{b}$$\overrightarrow{b}$라 하자.

• $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{a},\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{b}$$\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{a},~\overrightarrow{ AC}=k\overrightarrow{b}$라 하면,

  조건 가에 의해서 $\overrightarrow{PQ}$$\overrightarrow{PQ}$와 $\overrightarrow{AB}$$\overrightarrow{ AB}$​는 평행이다.

  $\therefore \overrightarrow{PQ}=jk\overrightarrow{a}$$\therefore~ \overrightarrow{PQ}=jk \overrightarrow{ a}$로 표현할 수 있다. ($j$$j$는 상수)

• 조건 가를 수식으로 표현하면,

  $9\cdot jk\cdot jk\overrightarrow{a}=4\cdot k\cdot k\overrightarrow{a}$$9\cdot jk\cdot jk \overrightarrow{ a}=4\cdot k \cdot k \overrightarrow{ a}$

  $9j^2{k}^2=4k^2$$9j^2k^2 =4k^2$

  $j=\frac{2}{3}$$j=\cfrac 23$

  $\therefore \overrightarrow{PQ}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$$\therefore~ \overrightarrow{ PQ}=\cfrac 23 \overrightarrow{AB}$

• 찾아낸 조건에 따라 다시 그리면,

  

  조건 다를 이용하자.

  • $\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{CB}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CB}=\frac{2}{3}\cdot k\cdot k=24$$\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{CB}=\cfrac 23\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{ CB}=\cfrac 23 \cdot k\cdot k=24$

    $\therefore k=6$$\therefore~ k=6$

• $|\overrightarrow{XA}+\overrightarrow{XB}|$$|\overrightarrow{XA}+\overrightarrow{XB}|$의 최솟값을 구하자...?

  • $\overline{AB}=6,\overline{AP}=4$$\overline{ AB}=6,~\overline{AP}=4$

  • $\mathrm{\angle }QAB=\frac{\pi }{3}$$\angle QAB=\cfrac {\pi}3$

  계산이....더..럽........

  좌표를 잡는 게 편하겠다.

  $A(0,0),B(6,0)$$A(0,~0),~B(6,~0)$이라 하면,

  $X(t,-\sqrt{3}t)(0\le t\le 2)$$X(t,~-\sqrt 3 t)\quad (0\le t\le 2)$

  $\overrightarrow{XA}=(-t,\sqrt{3}t),\overrightarrow{XB}=(6-t,\sqrt{3}t)$$\overrightarrow{XA}=(-t,~{\sqrt 3} t),~\overrightarrow{XB}=(6-t,~\sqrt 3t)$가 되고

  $\begin{array}{rl}|\overrightarrow{XA}+\overrightarrow{XB}|& =|(6-2t,2\sqrt{3}t)|\\ & =\sqrt{36-24t+4t^2+12t^2}\\ & =\sqrt{16t^2-24t+36}\\ & =\sqrt{(4t-3{)}^2+27}\end{array}$$\begin{aligned} |\overrightarrow{XA}+\overrightarrow{XB}|&=|(6-2t,~2\sqrt 3 t)|\\ &=\sqrt{36-24t+4t^2 +12t^2}\\ &=\sqrt{16t^2 -24t+36}\\ &= \sqrt{ (4t-3)^2+27}\end{aligned}$​

  $\therefore m=3\sqrt{3}$$\therefore~ m=3\sqrt 3$

$\therefore m^2=27$$\therefore~ m^2=27$