2023년 07월 기하 30번

30. 공간에 중심이 $O$$O$이고 반지름의 길이가 $4$$4$인 구가 있다. 구 위의 서로 다른 세 점 $A,B,C$$A,~B,~C$가 $\overline{AB}=8,\overline{BC}=2\sqrt{2}$$\overline{ AB}=8,~\overline{ BC}=2\sqrt 2$를 만족시킨다. 평면 $ABC$$ABC$ 위에 있지 않은 구 위의 점 $D$$D$에서 평면 $ABC$$ABC$에 내린 수선의 발을 $H$$H$라 할 때, 점 $D$$D$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 두 직선 $OC,OD$$OC,~OD$가 서로 수직이다.

(나) 두 직선 $AD,OH$$AD,~OH$가 서로 수직이다.

삼각형 $DAH$$DAH$의 평면 $DOC$$DOC$ 위로의 정사영의 넓이를 $S$$S$라 할 때, $8S$$8S$의 값을 구하시오. (단, 점 $H$$H$는 점 $O$$O$가 아니다.)

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i. 조건을 표시하자...

• 보기 좋게 보조선들을 그리자!

• 수직인 직선을 보기 편하게 평면으로 그려두자.

• $\overline{CO}$$\overline{CO}$의 연장선과 구가 만나는 점을 $E$$E$라 하자.

  평면 $DOC$$DOC$는 평면 $DCE$$DCE$와 동일하다.

• $\overline{DH}$$\overline{ DH}$와 $\overline{OH}$$\overline{ OH}$는 수직이다. (조건 (가) 이용)

• $\overline{AD}$$\overline{AD}$와 $\overline{AH}$$\overline{AH}$도 수직이다. (조건 (나) 이용)

ii. 어랏?

• 평면 $DHA$$DHA$와 평면 $COD$$COD$가 이루는 각은 $\mathrm{\angle }HDO$$\angle HDO$이다.

• $\overline{OD}=4$$\overline{OD}=4$이고 $\overline{DH}=h$$\overline{DH}=h$라 하자.

  직각삼각형 $ODH$$ODH$에서 $\overline{OH}=\sqrt{4^2-h^2}$$\overline{OH}=\sqrt{4^2 -h^2}$

• $\overline{CE}$$\overline{CE}$와 $\overline{AH}$$\overline{AH}$는 평행이다!!! ($\because$$\because$ $\overline{OH}$$\overline{OH}$와 $\overline{AH},\overline{OC}$$\overline{AH},~\overline{OC}$는 수직이다)

  $\mathrm{\angle }HAO=\mathrm{\angle }COB$$\angle HAO=\angle COB$ 이다. (동위각)

  • $\mathrm{△}COB$$\triangle COB$에 대해 제$2$$2$코사인법칙을 이용하면,

    $(2\sqrt{2}{)}^2=4^2+4^2-2\cdot 4\cdot 4\cos \mathrm{\angle }COB$$(2\sqrt 2)^2 =4^2 +4^2 -2\cdot 4\cdot 4 \cos \angle COB$

    $\cos \mathrm{\angle }COB=\frac{3}{4}$$\cos \angle COB=\cfrac 34$

    이거 쓸모있나?

  • $\mathrm{△}OHA$$\triangle OHA$를 살펴보자.

    어? 직각삼각형이고.. 헐..$\overline{AH}=h$$\overline{AH}=h$가 된다....

    $\cos \mathrm{\angle }COB=\cos \mathrm{\angle }HAO$$\cos \angle COB=\cos \angle HAO$를 이용하면, $h=3$$h=3$이다.

    그러면 넓이 $\mathrm{△}DAH=\frac{1}{2}\times 3\times 3=\frac{9}{2}$$\triangle DAH=\cfrac 12 \times 3\times 3 =\cfrac 92$

• $\mathrm{\angle }ODH$$\angle ODH$가 두 평면사이의 각이네?

  $\cos \mathrm{\angle }ODH=\frac{3}{4}$$\cos \angle ODH=\cfrac 34$

$\therefore 8S=8\times \frac{9}{2}\times \frac{3}{4}=27$$\therefore~ 8S=8\times \cfrac 92 \times \cfrac 34=27$