2024학년도 06월 기하 29번

29. 두 점 $F(c,0),F^{\prime }(-c,0)(c>0)$$F(c,~0),~F'(-c,~0)(c>0)$을 초점으로 하는 두 쌍곡선 $C_1:x^2-\frac{y^2}{24}=1,C_2:\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{21}=1$$C_1~:~x^2 -\cfrac {y^2}{24}=1,\quad C_2~:~ \cfrac {x^2}4 -\cfrac{y^2}{21}=1$이 있다. 쌍곡선 $C_1$$C_1$ 위에 있는 제 $2$$2$사분면 위의 점 $P$$P$에 대하여 선분 $P{F}^{\prime }$$PF'$이 쌍곡선 $C_2$$C_2$와 만나는 점을 $Q$$Q$라 하자.

$\overline{PQ}+\overline{QF},2\overline{P{F}^{\prime }},\overline{PF}+\overline{P{F}^{\prime }}$$\overline{PQ}+\overline{QF} ,~2\overline{PF'} ,~\overline{PF}+\overline{PF'}$이 순서대로 등차수열을 이룰 때, 직선 $PQ$$PQ$의 기울기는 $m$$m$이다. $60m$$60m$의 값을 구하시오.

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i. 정리

• 쌍곡선 $C_1$$C_1$의 정보

  • $F(5,0),F^{\prime }(-5,0)$$F(5,~0),~F'(-5,~0)$

  • 길이의 차 : $2$$2$

• 쌍곡선 $C_2$$C_2$의 정보

  • $F(5,0),F^{\prime }(-5,0)$$F(5,~0),~F'(-5,~0)$

  • 길이의 차 : $4$$4$

ii. 길이에 대한 정의를 하고...?

• $\overline{PQ}=\alpha ,\overline{Q{F}^{\prime }}=\beta$$\overline{PQ} =\alpha,~\overline{QF'} =\beta$라 하면, $\overline{PF}=\alpha +\beta +2$$\overline{PF} =\alpha+\beta +2$이고 $\overline{QF}=\beta +4$$\overline{QF} =\beta+4$

어랏?

주어진 길이들을 표현해보자.

• $\overline{PQ}+\overline{QF}=\alpha +\beta +4$$\overline{PQ}+\overline{QF} =\alpha +\beta+4$

• $2\overline{P{F}^{\prime }}=2(\alpha +\beta )$$2\overline{PF'}=2(\alpha+\beta)$

• $\overline{PF}+\overline{P{F}^{\prime }}=2(\alpha +\beta )+2$$\overline{PF}+\overline{PF'}=2(\alpha+\beta)+2$

순서대로 등차수열을 이룬다? 편의상 $\alpha +\beta =t$$\alpha+\beta=t$로 치환하면,

$t+4,2t,2t+2$$t+4,~2t,~2t+2$가 순서대로 등차수열을 이룬다.

$2t-(t+4)=(2t+2)-2t⟶t=6$$2t-(t+4)=(2t+2)-2t\quad \longrightarrow \quad t=6$

iii. 기울기를 구하자.

기울기를 구하기 위해 구한 값으로 삼각형을 그리면,

$\overline{P{F}^{\prime }}=6,\overline{PF}=8,\overline{F^{\prime }F}=10$$\overline{PF'} =6,~\overline{PF}=8,~\overline{F'F}=10$

어? 직각삼각형이다!!!

$\mathrm{\angle }{F}^{\prime }PF=\frac{\pi }{2}$$\angle F'PF=\cfrac {\pi}2$

• 점 $P$$P$에서 선분 $F^{\prime }F$$F'F$에 내린 수선의 발을 $H$$H$라 하자.

• $\overline{P{F}^{\prime }}=6,\overline{F^{\prime }F}=10,\overline{PF}=8$$\overline{PF'} =6,~\overline{F'F}=10,~\overline{PF}=8$

• $\tan \mathrm{\angle }{F}^{\prime }PF=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}⟶m=\frac{4}{3}$$\tan \angle F'PF=\cfrac 86 =\cfrac 43\quad \longrightarrow \quad m=\cfrac 43$

$\therefore 60m=80$$\therefore~ 60m=80$