2023년 05월 기하 30번

30. 좌표평면에서 포물선 $y^2=2x-2$$y^2 =2x-2$의 꼭짓점을 $A$$A$라 하자. 이 포물선 위를 움직이는 점 $P$$P$와 양의 실수 $k$$k$에 대하여 $\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OA}+\frac{k}{\overrightarrow{OP}}\overrightarrow{OP}$$\overrightarrow{ OX}=\overrightarrow{ OA}+\cfrac k{\overrightarrow{ OP}}\overrightarrow{ OP}$ 를 만족시키는 점 $X$$X$가 나타내는 도형을 $C$$C$라 하자. 도형 $C$$C$가 포물선 $y^2=2x-2$$y^2 =2x-2$와 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 실수 $k$$k$의 최솟값을 $m$$m$이라 할 때, $m^2$$m^2$의 값을 구하시오. (단, $O$$O$는 원점이다.)

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i. 정리

• 주어진 벡터식을 보자.

  $\overrightarrow{OA}$$\overrightarrow{ OA}$는 위치벡터이고 $\frac{k}{\overrightarrow{OP}}\overrightarrow{OP}$$\cfrac k{\overrightarrow{OP} }\overrightarrow{OP}$는 $\overrightarrow{OP}$$\overrightarrow{ OP}$의 단위벡터의 실수배다.

  아 그러니까 점 $A$$A$를 지나고 기울기는 $\overrightarrow{OP}$$\overrightarrow{ OP}$와 평행한 직선이네!

• 그리고 최솟값을 찾는 것이니까 그냥 그림만 잘 그리면 되겠다?

  $k$$k$가 최소가 되려면 어떤 조건을 만족시켜야 할까?

  

  $\overline{AP}$$\overline{ AP}$의 길이가 곧 $k$$k$의 값이니까... 최대한 짧아야 한다.

  어?

  원점을 지나는 직선과 포물선이 접할 때의 점이 $P$$P$이면 된다!!

ii. 계산

• $\{\begin{array}{l}y=nx\\ y^2=2x-2\end{array}$$\begin{cases} y=nx\\ y^2=2x-2\end{cases}$에서 $y$$y$가 중근을 가지면 된다.

  $n^2{x}^2-2x+2=0$$n^2x^2 -2x+2=0$의 판별식 $D/4=0$$D/4=0$을 구하면,

  $n=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$$n=\pm \cfrac 1{\sqrt 2}$

  그냥 편의상 $n=\frac{1}{\sqrt{2}}$$n=\cfrac 1{\sqrt 2}$라 하자. (어차피 대칭이라 똑같을 것이니까.)

• 이제 포물선가 주어진 직선의 교점을 구하자.

  $y=\frac{1}{\sqrt{2}}x,y^2=2x-2$$y=\cfrac 1{\sqrt 2} x ,~y^2 =2x-2$를 풀면, $x=1,5$$x=1,~5$

  

  이런 닮음비를 가지고 있을 테니까

  $k=\sqrt{4^2+(2\sqrt{2}{)}^2}$$k=\sqrt{4^2 +(2\sqrt 2)^2 }$

$\therefore m^2=16+8=24$$\therefore~ m^2 =16+8=24$