2024학년도 06월 기하 30번

30. 직선 $2x+y=0$$2x+y=0$을 움직이는 점 $P$$P$와 타원 $2x^2+y^2=3$$2x^2 +y^2 =3$ 위를 움직이는 점 $Q$$Q$에 대하여 $\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}$$\overrightarrow{ OX} =\overrightarrow{ OP}+\overrightarrow{ OQ}$를 만족시키고, $x$$x$좌표와 $y$$y$좌표 모두 $0$$0$ 이상인 모든 점 $X$$X$가 나타내는 영역의 넓이는 $\frac{q}{p}$$\cfrac qp$이다. $p+q$$p+q$의 값을 구하시오. (단, $O$$O$는 원점이고, $p$$p$와 $q$$q$는 서로소인 자연수이다.)

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i. 생각

• $\overrightarrow{OX}=\overline{OP}+\overline{OQ}$$\overrightarrow{OX}=\overline{OP}+\overline{OQ}$

  • 위치벡터 : $\overline{OQ}$$\overline{OQ}$

  • 방향벡터 : $\frac{1}{|\overrightarrow{OP}|}\overrightarrow{OP}$$\cfrac 1{|\overrightarrow{OP}|} \overrightarrow{OP}$

  인 직선으로 볼 수 있겠다?

어? 그럼 다 풀렸네.....

점 $Q$$Q$를 지나고 기울기가 $-2$$-2$인 직선을 생각하면,

색칠한 영역사이에 $\overline{OX}$$\overline{OX}$가 있을 것이다. (당연히 $Q_1,Q_2$$Q_1,~Q_2$를 지나는 직선의 기울기는 $-2$$-2$인 직선이다.)

뭐 타원을 지나는 기울기가 $-2$$-2$인 직선 중 $y$$y$ 절편이 양수인 직선을 구하고, 이 직선과 $x$$x$축, $y$$y$축으로 둘러싸인 삼각형의 넒이를 구하면 된다!

ii. 계산

• 공식을 아는 사람은 공식을 쓰시고.....

• 절대부등식 (코시-슈바르츠 부등식을 쓰자)

  $(a^2+b^2)((cx{)}^2+(dy{)}^2)\ge (acx+bdy{)}^2$$(a^2 +b^2 )((cx)^2 +(dy)^2 )\ge (acx +bdy)^2$을 이용하면,

  $(a^2+b^2)((\sqrt{2}x{)}^2+y^2)\ge (2x+y{)}^2$$(a^2 +b^2 )((\sqrt 2 x)^2 +y^2 )\ge (2x+y)^2$

  그리고 조건에 맞는 $a,b$$a,~b$의 값은 $a=\sqrt{2},b=1$$a=\sqrt 2 ,~b=1$

  $({\sqrt{2}}^2+1^2)(2x^2+y^2)\ge (2x+y{)}^2$$(\sqrt 2^2+1^2)(2x^2 +y^2)\ge (2x+y)^2$

  $3\cdot 3\ge (2x+y{)}^2$$3\cdot 3\ge (2x+y)^2$

  $\therefore -3\le 2x+y\le 3$$\therefore~ -3\le 2x+y\le 3$

  등호일 때, 접선일 테니까...

  구하고자 하는 직선은 $2x+y=3$$2x+y=3$

• 삼각형의 넓이를 구하자.

  $(0,0),(0,3),(\frac{3}{2},0)$$(0,~0),~(0,~3),~(\cfrac 32,~0)$인 삼각형의 넓이는 $\frac{1}{2}\times 3\times \frac{3}{2}=\frac{9}{4}$$\cfrac 12 \times 3\times \cfrac 32=\cfrac 94$

$\therefore p+q=13$$\therefore~ p+q=13$