2023년 07월 기하 29번

29. 좌표평면 위에 길이가 $6$$6$인 선분 $AB$$AB$를 지름으로 하는 원이 있다. 원 위의 서로 다른 두 점 $C,D$$C,~D$가 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=27,\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=9,\overline{CD}>3$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=27,~\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=9,~\overline{CD}>3$을 만족시킨다. 선분 $AC$$AC$ 위의 서로 다른 두 점 $P,Q$$P,~Q$와 상수 $k$$k$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\frac{3}{2}\overrightarrow{DP}-\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{BC}$$\cfrac 32 \overrightarrow{ DP}-\overrightarrow{ AB}=k\overrightarrow{ BC}$

(나) $\overrightarrow{QB}\cdot \overrightarrow{QD}=3$$\overrightarrow{QB}\cdot \overrightarrow{QD}=3$

$k\times (\overrightarrow{AQ}\cdot \overrightarrow{DP})$$k\times (\overrightarrow{ AQ}\cdot \overrightarrow{ DP})$의 값을 구하시오.

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i. 정리

• $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=27$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{ AC}=27$

  $6\times \alpha =27$$6\times \alpha =27$

  $\alpha =\frac{9}{2}$$\alpha =\cfrac 92$

  점 $C$$C$의 위치를 정할 수 있다.

• $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=9$$\overrightarrow{ AB}\cdot \overrightarrow{AD}=9$

  $6\times \beta =9$$6\times \beta=9$

  $\beta =\frac{3}{2}$$\beta=\cfrac 32$

  어째 깔끔한 위치네?

$\overline{AB}$$\overline{ AB}$를 사등분한 위치에 각각 존재하네?

그럼 $\mathrm{△}ADB$$\triangle ADB$와 $\mathrm{△}BCA$$\triangle BCA$는 합동이고...

$\mathrm{\angle }ACB=\mathrm{\angle }ADB=\frac{\pi }{2}$$\angle ACB=\angle ADB=\cfrac {\pi}2$ 어? 길이 구할 수 있네???

중학교 때 배운(?) 직각삼각형의 닮음 공식(?)들을...이용하면 ( $\overline{AB}\times \overline{A{H}_1}={\overline{AC}}^2$$\overline{AB}\times \overline{AH_1}=\overline{AC}^2$)

$6\times \frac{9}{2}={\overline{AC}}^2⟶\overline{AC}=3\sqrt{3}$$6\times \cfrac 92 =\overline{AC}^2\quad \longrightarrow \quad \overline{AC}=3\sqrt 3$

어? 특수각?? 헐...

ii. 조건 (가)

• $\overrightarrow{BC}$$\overrightarrow{ BC}$의 실수배를 표현했다? 어?

  $\frac{3}{2}\overrightarrow{DP}=\overrightarrow{AB}+k\overrightarrow{BC}$$\cfrac 32 \overrightarrow{ DP}=\overrightarrow{AB}+k\overrightarrow{BC}$

  이러면 $\overrightarrow{AB}$$\overrightarrow{AB}$ 위치벡터, $\overrightarrow{BC}$$\overrightarrow{BC}$는 방향벡터로 보면 되겠다.

  흠...시점을 계산하기 편하게 변경해야겠다...

  습관적이라면 $A$$A$나 $B$$B$를 시점으로 하겠지만... $D$$D$를 시점으로 하는게 편할 거 같지 않아?

  $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DA}$$\overrightarrow{ AB}=\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{ DA}$

  그리고 $\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{BC}$$\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{BC}$

  이를 이용해서 정리하면, $\frac{3}{2}\overrightarrow{DP}=\overrightarrow{DB}+(k-1)\overrightarrow{BC}$$\cfrac 32 \overrightarrow{DP}=\overrightarrow{DB}+(k-1)\overrightarrow{BC}$

  좀 더 보기 쉽게 바꾸면,

  $\begin{array}{rl}\overrightarrow{DP}& =\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AP}\\ & =\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AP}\end{array}$$\begin{aligned} \overrightarrow{DP}& =\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AP}\\ &=\overrightarrow{BC} +\overrightarrow{AP}\end{aligned}$

  이를 이용하면,

  $\frac{3}{2}\overrightarrow{DP}=\frac{3}{2}\overrightarrow{BC}+\frac{3}{2}\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{DB}+(k-1)\overrightarrow{BC}$$\cfrac 32 \overrightarrow{DP}=\cfrac 32 \overrightarrow{ BC}+\cfrac 32\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{DB}+(k-1)\overrightarrow{BC}$

  $\frac{3}{2}\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{DB}$$\cfrac 32 \overrightarrow{ AP} =\overrightarrow{ DB}$이고 $\frac{3}{2}=k-1$$\cfrac 32 =k-1$임을 알 수 있다.

  $\therefore k=\frac{5}{2}$$\therefore~ k=\cfrac 52$이고 점 $P$$P$는 $\overline{AC}$$\overline{AC}$를 $2:1$$2:1$로 내분하는 점임을 알 수 있다.

iii. 조건 (나)

• $\overrightarrow{QB}=\overrightarrow{QC}+\overrightarrow{CB}$$\overrightarrow{QB}=\overrightarrow{QC}+\overrightarrow{ CB}$

• $\overrightarrow{QD}=\overrightarrow{QA}+\overrightarrow{AD}$$\overrightarrow{QD}=\overrightarrow{QA}+\overrightarrow{AD}$

이를 이용하면,

• $(\overrightarrow{QC}+\overrightarrow{CB})\cdot (\overrightarrow{QA}+\overrightarrow{AD})$$(\overrightarrow{QC}+\overrightarrow{CB})\cdot (\overrightarrow{QA}+\overrightarrow{AD})$를 계산하면,

  $\overrightarrow{QC}\cdot \overrightarrow{QA}=-6$$\overrightarrow{ QC}\cdot \overrightarrow{ QA}=-6$

  (수직인 벡터를 내적하면 $0$$0$이다.)

  $\overline{QA}=a$$\overline{ QA}=a$라 하면, $\overline{QC}=6-a$$\overline{QC}=6-a$

  뭐 방향이 반대이니까 내적값은 음수가 나온 것일테니까

  $a(6-a)=6$$a(6-a)=6$ 그리고 길이니까 $0<a<6$$0<a<6$

  이를 풀면, $\sqrt{3}$$\sqrt 3$ 이다. ($\because$$\because$ $P$$P$와 $Q$$Q$는 서로 다른 점이다.)

iv. 계산

• $k=\frac{5}{2}$$k=\cfrac 52$

• $\overrightarrow{AQ}\cdot \overrightarrow{DP}=\overline{AQ}\cdot \overline{AP}=\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}=6$$\overrightarrow{ AQ}\cdot \overrightarrow{ DP}=\overline{AQ}\cdot\overline{AP}=\sqrt 3 \cdot 2\sqrt 3=6$

$\therefore \frac{5}{2}\times 6=15$$\therefore~ \cfrac 52\times 6= 15$