2024학년도 09월 기하 29번

29. 한 초점이 $F(c,0)(c>0)$$F(c,~0)~(c>0)$인 타원 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$$\cfrac{x^2}9+\cfrac{y^2}5=1$과 중심의 좌표가 $(2,3)$$(2,~3)$이고 반지름의 길이가 $r$$r$인 원이 있다. 타원 위의 점 $P$$P$와 원 위의 점 $Q$$Q$에 대하여 $\overline{PQ}-\overline{PF}$$\overline{PQ}-\overline{PF}$의 최솟값이 $6$$6$일 때, $r$$r$의 값을 구하시오.

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i. 생각

• 두 선분의 차? $P,Q$$P,~Q$를 초점으로 하는 쌍곡선이지 않을까...하고 생각해볼 수 있지 않을까?

• 뭐 우선 대충 그리고 생각을 하자.

  

  • $F(-2,0),F(2,0)$$F(-2,~0),~F(2,~0)$

  • $\overline{PF}+\overline{P{F}^{\prime }}=6$$\overline{PF}+\overline{PF'}=6$

    $\overline{PF}=6-\overline{P{F}^{\prime }}$$\overline{PF}=6-\overline{PF'}$

  • $\overline{PQ}-\overline{PF}=\overline{PQ}-6+\overline{P{F}^{\prime }}\ge 6$$\overline{PQ}-\overline{PF}=\overline{PQ}-6+\overline{PF'}\ge 6$

    어..? 뭐 될 것 같다?

    $\overline{PQ}+\overline{P{F}^{\prime }}\ge 12$$\overline{PQ}+\overline{PF'} \ge 12$

    어랏..두 길이의 합으로 표현되네?

  타원 위의 점이 $P$$P$이고 원 위의 점이 $Q$$Q$...

  길이의 합이 최소가 되기 위해서는 $P,Q,F^{\prime }$$P,~Q,~F'$이 한 직선 위에 있을 경우일 것이고..좀 더 생각하면 이 직선은 $(2,3)$$(2,~3)$을 지날 것이다.

   

  • 원에서는 중심을 기준으로 생각할 테니까....$(-2,0)$$(-2,~0)$과 $(2,3)$$(2,~3)$의 거리는 $5$$5$

  음...안 와닿으니까..그림에 표시를 하자.

  

  • $\overline{AQ}=r$$\overline{ AQ}=r$이라 하면.... (등호일 때 최소가 될 테니까..)

    $\overline{PQ}+\overline{P{F}^{\prime }}=(r-\overline{AP})+(5-\overline{AP})=r+5-2\overline{AP}=12$$\overline{PQ}+\overline{ PF'}=(r-\overline{AP})+(5-\overline{AP})=r+5-2\overline{AP}= 12$

    $r=7+2\overline{AP}$$r= 7+2\overline{AP}$

    길이를 구해야 하나....? 다시 문제로 돌아가보자.

    헐......$\overline{PQ}>\overline{PF}$$\overline{PQ}>\overline{ PF}$를 만족해야하는데...하는데....;;;;

  • 다시 그..리...자...

    

    $\overline{PQ}+\overline{P{F}^{\prime }}\ge 12$$\overline{ PQ}+\overline{PF'}\ge 12$

    $\overline{A{F}^{\prime }}=5$$\overline{ AF'}=5$

    헐...$r=12+5=17$$r=12+5=17$