2023년 10월 기하 29번

29. 좌표평면 위의 점 $A(5,0)$$A(5,~0)$에 대하여 제$1$$1$사분면 위의 점 $P$$P$가 $|\overrightarrow{OP}|=2,\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{AP}=0$$|\overrightarrow{OP}|=2,~\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{AP}=0$을 만족시키고, 제$1$$1$사분면 위의 점 $Q$$Q$가 $|\overrightarrow{AQ}|=1,\overrightarrow{OQ}\cdot \overrightarrow{AQ}=0$$|\overrightarrow{AQ}|=1,~\overrightarrow{OQ}\cdot \overrightarrow{AQ}=0$을 만족시킬 때, $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{PQ}$$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{PQ}$의 값을 구하시오. (단, $O$$O$는 원점이다.)

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i. 정리

• $P$$P$는 중심이고 $O$$O$이고 반지름이 $2$$2$인 원 위의 점이다. 그리고 조건에 따라 $P$$P$의 위치가 정해진다?

• $Q$$Q$는 중심이 $A$$A$이고 반지름의 길이가 $1$$1$인 원 위의 점이다. 어? 조건에 따라 $Q$$Q$도 위치가 정해진다.\

ii. 풀자.

그냥 좌표잡고 계산하는 게 제일 빠르겠다?

$P$$P$에서 $x$$x$축에 내린 수선의 발을 $H$$H$라 하면,

• $\overline{OA}\times \overline{OH}={\overline{OP}}^2$$\overline{OA}\times \overline{OH}=\overline{OP}^2$ (직각삼각형에서 닮음비 이용. 중학교 때 공식처럼 한 거 있잖아?)

  $5\times \overline{OH}=2^2$$5\times \overline{OH}=2^2$

  $\therefore \overline{OH}=\frac{4}{5}$$\therefore~ \overline{OH} =\cfrac 45$

$Q$$Q$에서 $x$$x$축에 내린 수선의 발을 $J$$J$라 하자.

• $\overline{OA}\times \overline{JA}={\overline{AQ}}^2$$\overline{OA}\times \overline{JA}=\overline{AQ}^2$

  $1=5\times \overline{JA}$$1=5\times \overline{JA}$

  $\therefore \overline{JA}=\frac{1}{5}$$\therefore~ \overline{JA}=\cfrac 15$

iii. 계산

$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{PQ}$$\overrightarrow{ OA}\cdot \overrightarrow{ PQ}$를 계산하자.

$\overline{PQ}$$\overline{ PQ}$의 $\overline{OA}$$\overline{ OA}$ 위로의 정사영의 길이는

$\overline{OA}-(\overline{OH}+\overline{JA})=5-1=4$$\overline{OA}-\Big(\overline{OH}+\overline{JA}\Big)=5-1=4$

$\therefore \overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{PQ}=5\cdot 4=20$$\therefore~ \overrightarrow{ OA}\cdot \overrightarrow{ PQ}=5\cdot 4=20$