2023년 05월 기하 29번

29. 그림과 같이 두 초점이 $F(c,0),F^{\prime }(-c,0)(c>0)$$F(c,~0),~F'(-c,~0)~(c>0)$인 쌍곡선 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{27}=1$$\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{27} =1$ 위의 점 $P(\frac{9}{2},k)(k>0)$$P\Big(\cfrac 92,~k\Big)~(k>0)$에서의 접선이 $x$$x$ 축과 만나는 점을 $Q$$Q$라 하자. 두 점 $F,F^{\prime }$$F,~F'$을 초점으로 하고 점 $Q$$Q$를 한 꼭짓점으로 하는 쌍곡선 이 선분 $P{F}^{\prime }$$PF'$과 만나는 두 점을 $R,S$$R,~S$라 하자. $\overline{RS}+\overline{SF}=\overline{RF}+8$$\overline{ RS}+\overline{ SF}=\overline{ RF} +8$일 때, $4\times (a^2+k^2)$$4\times (a^2 +k^2 )$의 값을 구하시오. (단, $a$$a$는 양수이고, 점 $R$$R$의 $x$$x$좌표는 점 $S$$S$의 $x$$x$ 좌표보다 크다.)

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i. 정리

• 쌍곡선의 정의를 활용하기 위해 길이들을 표현하자.

  • $\overline{F^{\prime }S}=\alpha ,\overline{SR}=\beta ,\overline{RF}=\gamma ,\overline{SF}=\delta$$\overline{F'S}=\alpha,~\overline{SR}=\beta,~\overline{RF}=\gamma,~\overline{SF}=\delta$

• 여차하면 접선의 방정식을 사용할 각오(?)를 하자.

• 도형이니까 재수없으면 코사인 제2법칙도 염두에 두자.

ii. 생각

• 주어진 조건식을 표현하자.

  • $\beta +\delta =\gamma +8$$\beta+\delta=\gamma +8$

• 쌍곡선의 정의를 이용해 식을 표현하자.

  • $\alpha +\beta -\gamma =\delta -\alpha ⟶\delta =2\alpha +\beta -\gamma$$\alpha+\beta -\gamma=\delta-\alpha \quad \longrightarrow \quad \delta=2\alpha +\beta -\gamma$

• 어찌되었든 미지수 $4$$4$개에 식 $2$$2$개...... 아무래도 접선의 방정식을 써야하는 듯 싶다. 그 전에 식을 좀 정리해두자.

  • $\{\begin{array}{l}\delta =-\beta +\gamma +8\\ \delta =2\alpha +\beta -\gamma \end{array}$$\begin{cases} \delta =-\beta+\gamma +8\\ \delta =2\alpha +\beta -\gamma\end{cases}$

    • 두 식을 더하면, $2\delta =2\alpha +8$$2\delta =2\alpha +8$

      $\therefore \delta =\alpha +4$$\therefore~ \delta =\alpha+4$

쌍곡선의 길이의 차는 $4$$4$임을 알 수 있다!

에이...그럼 뭐해...아직은 딱히 없네..

• 접선의 방정식을 이용해야겠다.

  • 우선 $Q$$Q$의 좌표는 $(2,0)$$(2,~0)$임을 알 수 있다. (쌍곡선의 정의)

  • 어! $P$$P$를 지나는 접선의 방정식은 $Q(2,0)$$Q(2,~0)$을 지난다.

    $\frac{9}{2}\frac{x}{a^2}-\frac{ky}{27}=1$$\cfrac 92 \cfrac {x}{a^2 } -\cfrac {ky}{27}=1$

    에다가 $Q$$Q$의 좌표를 대입하면,

    $a^2=9⟶a=\pm 3$$a^2=9\quad \longrightarrow \quad a=\pm 3$

    그런데, $a>0$$a>0$이므로 $a=3$$a=3$

• 구한 $a$$a$값을 이용하여 $k^2$$k^2$의 값을 구하면, $k^2=\frac{135}{4}$$k^2=\cfrac {135}4$

$\therefore 4(9+\frac{135}{4})=171$$\therefore~ 4(9+\cfrac {135}4)=171$