2023학년도 11월 기하 30번

30. 좌표공간에 정사면체 $ABCD$$ABCD$가 있다. 정삼각형 $BCD$$BCD$의 외심을 중심으로 하고 점 $B$$B$를 지는 구를 $S$$S$라 하자. 구 $S$$S$와 선분 $AB$$AB$가 만나는 점 중 $B$$B$가 아닌 점을 $P$$P$, 구 $S$$S$와 선분 $AC$$AC$가 만나는 점 중 $C$$C$가 아닌 점을 $Q$$Q$, 구 $S$$S$와 선분 $AD$$AD$가 만나는 점 중 $D$$D$가 아닌 점을 $R$$R$라 하고, 점 $P$$P$에서 구 $S$$S$에 접하는 평면을 $\alpha$$\alpha$라 하자.

구 $S$$S$의 반지름의 길이가 $6$$6$일 때, 삼각형 $PQR$$PQR$의 평면 $\alpha$$\alpha$ 위로의 정사영의 넓이는 $k$$k$이다. $k^2$$k^2$의 값을 구하시오.

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i. 생각

• 정사면체의 한 변의 길이는?

  뭐 구하면 $6\sqrt{3}$$6\sqrt 3$이 되는 건 생략하자.

• 공간도형의 문제는 항상?

  어떻게 $2$$2$차원으로 자르는가에 달려 있음을 알고 있을 것이라 믿는다.

  점 $A,B,P$$A,~B, P$ 그리고 $\mathrm{△}BCD$$\triangle BCD$의 외심을 지나는 평면으로 잘라서 접근하면 어찌 될 거 같다.

ii. $2$$2$차원으로 자르자.

• $\mathrm{△}BCD$$\triangle BCD$의 외심을 $O$$O$라 하자.

• $\overline{BO}=\overline{PO}=6$$\overline{BO}=\overline{PO}=6$임을 알 수 있다.

  $\mathrm{△}OBP$$\triangle OBP$는 이등변삼각형이다.

  

  • $\mathrm{\angle }OMP=\frac{\pi }{2},\mathrm{\angle }AOB=\frac{\pi }{2}$$\angle OMP=\cfrac{\pi}2,~\angle AOB=\cfrac{\pi}2$

    오! 중학교 때 배운 공식이라면 공식이고....뭐 아무튼

    $\mathrm{△}ABO$$\triangle ABO$의 넓이를 구하면,

    $\frac{1}{2}\overline{AB}\times \overline{MO}=\frac{1}{2}\overline{BO}\times \overline{AO}$$\cfrac 12 \overline{AB}\times \overline{MO} =\cfrac 12 \overline{BO}\times \overline{AO}$

    여기서 $\overline{MO}$$\overline{MO}$를 구할 수 있다!

    $\therefore \overline{MO}=2\sqrt{6}$$\therefore~ \overline{MO} =2\sqrt 6$

  • $\mathrm{△}PMO$$\triangle PMO$에서 $\overline{PM}$$\overline{PM}$을 구할 수 있다. ($\because \mathrm{\angle }PMO=\frac{\pi }{2}$$\because \angle PMO=\cfrac{\pi}2$)

    $\therefore \overline{PM}=\sqrt{6^2-(2\sqrt{6}{)}^2}=2\sqrt{3}$$\therefore~ \overline{PM} =\sqrt{6^2-(2\sqrt 6)^2}=2\sqrt 3$

    어랏? $\overline{AB}=6\sqrt{3}$$\overline{AB}=6\sqrt 3$인데...

    $P,M$$P,~M$은 $\overline{AB}$$\overline{AB}$의 삼등분점이네?

    그럼 여기서 $\mathrm{△}PQR$$\triangle PQR$과 $\mathrm{△}BCD$$\triangle BCD$는 $1:3$$1:3$의 닮음비를 가지고, 넓이의 비는 $1:9$$1:9$임을 알 수 있다!

  • $\mathrm{△}PQR$$\triangle PQR$의 넓이를 구하자.

    $\mathrm{△}PQR=\frac{1}{2}\times (6\sqrt{3}{)}^2\times \sin \frac{\pi }{3}\times \frac{1}{9}=3\sqrt{3}$$\triangle PQR=\cfrac 12 \times (6\sqrt 3)^2 \times\sin \cfrac {\pi}3\times \cfrac 19=3\sqrt 3$

• 이제 정사영을 구하기 위해 사잇각을 생각하자.

  

  음....복잡하다....그럼 뭐 좌표를 잡도록 하자.

  $\overline{OP}$$\overline{OP}$의 기울기와 수직인 직선의 기울기값이 $\tan \theta$$\tan \theta$ 임을 이용하면 바로 $\cos \theta$$\cos \theta$를 구할 수 있다.

  • 편의상 $O(0,0)$$O(0,~0)$이라 하면,

    $P(-2,4\sqrt{2})$$P(-2,~4\sqrt 2)$이고, $\overline{OP}$$\overline{OP}$의 기울기는 $-2\sqrt{2}$$-2\sqrt 2$

    $\therefore \tan \theta =\frac{1}{2\sqrt{2}}$$\therefore~\tan\theta =\cfrac 1{2\sqrt 2}$

    이를 이용하면, $\cos \theta =\frac{2\sqrt{2}}{3}$$\cos\theta =\cfrac {2\sqrt 2}3$

iii. 계산하자.

$k=3\sqrt{3}\times \frac{2\sqrt{2}}{3}=2\sqrt{6}$$k=3\sqrt 3\times \cfrac {2\sqrt 2}3=2\sqrt 6$

$\therefore k^2=24$$\therefore~ k^2=24$