2021학년도 11월 가형 29번

29. 네 명의 학생 $A,B,C,D$$A,~B,~C,~D$에게 검은색 모자 $6$$6$개와 흰 색 모자 $6$$6$개를 다음 규칙에 따라 남김없이 나누어 주는 경우의 수를 구하시오. (단, 같은 색 모자끼리는 서로 구별하지 않는다.)

(가) 각 학생은 $1$$1$개 이상의 모자를 받는다.

(나) 학생 $A$$A$가 받는 검은색 모자의 개수는 $4$$4$이상이다.

(다) 흰색 모자보다 검은색 모자를 더 많이 받는 학생을 $A$$A$를 포함하여 $2$$2$명 뿐이다.

---

i. 생각

• 아무래도 표를 그려서 접근해야겠다. 시각적으로 한 눈에 알 수 있으니까.
• 우선 $A$$A$가 $4$$4$개를 받는 경우와 $A$$A$가 $5$$5$개를 받는 경우
• 검은 모자 $1$$1$개를 받고 흰 모자를 $0$$0$개 받는 경우
• 검은 모자를 $2$$2$개 받고 흰모자를 이보다 적게 받는 경우

ii. 표를 그리자!

1. 첫번째

   	$A$$A$	$B$$B$	$C$$C$	$D$$D$
   $b$$b$	$4$$4$	$1$$1$	$1$$1$	$0$$0$
   $w$$w$	$a$$a$	$0$$0$	$b$$b$	$c$$c$

   $b=1\sim 5$$b=1\sim 5$

   1. $b=1$$b=1$일 때, $c$$c$ 에 $1$$1$을 먼저 배정

      $a+c=4$$a+c=4$ (단, $a=4$$a=4$는 제외해야 한다.)

      $\therefore {}_2{H}_4-1=4$$\therefore~ _2H_4-1=4$

   2. $b=2$$b=2$일 때, $c$$c$에 $1$$1$을 먼저 배정

      $a+c=3$$a+c=3$

      $\therefore {}_2{H}_3=4$$\therefore~ _2H_3=4$

   3. $b=3$$b=3$일 때, $c$$c$에 $1$$1$을 먼저 배정

      $a+c=2$$a+c=2$

      $\therefore {}_2{H}_2=3$$\therefore~ _2H_2=3$

   4. 이쯤되면.....

   $\therefore 4+4+3+2+1=14$$\therefore~ 4+4+3+2+1=14$

   그리고 $BCD$$BCD$를 배열하는 경우의 수는 $3!$$3!$

   $\therefore 3!\times 14=84$$\therefore~ 3!\times 14=84$

2. 두번째 경우

   	$A$$A$	$B$$B$	$C$$C$	$D$$D$
   $b$$b$	$4$$4$	$2$$2$	$0$$0$	$0$$0$
   $w$$w$	$a$$a$	$b$$b$	$c$$c$	$d$$d$

   $b=0,1$$b=0,~1$의 경우로 나뉜다.

   1. $b=0$$b=0$일 때, ($c,d$$c,~d$에 $1$$1$을 먼저 배정하자.)

      $a+c+d=4$$a+c+d=4$ (단, $a=4$$a=4$는 제외)

      그리고, $c=d$$c=d$일 때와 $c\ne d$$c\neq d$일 때 $B,C,D$$B,~C,~D$에 공을 배열하는 가짓수가 다르다.

      $c=d$$c=d$일 때에는 $3$$3$가지

      $c\ne d$$c\neq d$일 때에는 $3!$$3!$

      아...경우의 수를 다 써야하는구나..

      $(0,0,4)$$(0,~0,~4)$

      $(0,1,3)$$(0,~1,~3)$

      $(0,2,2)$$(0,~2,~2)$

      $(1,0,3)$$(1,~0,~3)$

      $(1,1,2)$$(1,~1,~2)$

      $(2,0,2)$$(2,~0,~2)$

      $(2,1,1)$$(2,~1,~1)$

      $(3,0,1)$$(3,~0,~1)$

      $\therefore 6\times 3!+2\times 3=42$$\therefore~ 6\times 3!+2\times 3=42$

   2. $b=1$$b=1$일 때, ($c,d$$c,~d$에는 $1$$1$을 먼저 배정하자)

      $a+c+d=3$$a+c+d=3$

      아이....C.....얘도 경우의 수가 나뉜다.

      $c=d$$c=d$일 때 $3$$3$

      $c\ne d$$c\neq d$일 때 $3!$$3!$

      $(0,0,3)$$(0,~0,~3)$

      $(0,1,2)$$(0,~1,~2)$

      $(1,0,2)$$(1,~0,~2)$

      $(1,1,1)$$(1,~1,~1)$

      $(2,0,1)$$(2,~0,~1)$

      $(3,0,0)$$(3,~0,~0)$

      $\therefore 4\times 3!+2\times 3=30$$\therefore~ 4\times 3!+2\times 3=30$

   $\therefore 42+30=72$$\therefore~ 42+30=72$

3. 세번째

   	$A$$A$	$B$$B$	$C$$C$	$D$$D$
   $b$$b$	$5$$5$	$1$$1$	$0$$0$	$0$$0$
   $w$$w$	$a$$a$	$0$$0$	$b$$b$	$c$$c$

   $b,c$$b,~c$에 먼저 $1$$1$을 배정하면,

   $a+b+c=4$$a+b+c=4$

   아오....얘도 $b=c$$b=c$일 때와 $b\ne c$$b\neq c$일 때로 나눠서 생각해야 한다.

   $(0,0,4)$$(0,~0,~4)$

   $(0,1,3)$$(0,~1,~3)$

   $(0,2,2)$$(0,~2,~2)$

   $(1,0,3)$$(1,~0,~3)$

   $(1,1,2)$$(1,~1,~2)$

   $(2,0,2)$$(2,~0,~2)$

   $(2,1,1)$$(2,~1,~1)$

   $(3,0,1)$$(3,~0,~1)$

   $(4,0,0)$$(4,~0,~0)$

   $\therefore 6\times 3!+3\times 3=45$$\therefore~ 6\times 3!+3\times 3 =45$

$\therefore 84+72+45=201$$\therefore~ 84+72+45=201$