2020년 10월 가형 29번

29. 다음 조건을 만족시키는 자연수 $a,b,c$$a,~b,~c$의 모든 순서쌍 $(a,b,c)$$(a,~b,~c)$의 개수를 구하시오.

(가) $a<b<c\le 20$$a<b<c\le 20$

(나) 세 변의 길이가 $a,b,c$$a,~b,~c$인 삼각형이 존재한다.

---

i. 생각

• 삼각형이 성립하기 위한 조건은?

  초등학교때 배우나?

  아무튼 나머지 두 변의 길이의 합은 나머지 한 변의 길이보다 크다

  $\therefore c>a+b$$\therefore~ c>a+b$

• 규칙을 찾기위해 우선 접근해보자.

  • $c=20$$c=20$일 때,

    $b=19a=2\sim 18$$b=19\quad a=2\sim 18$

    $b=18a=3\sim 17$$b=18\quad a=3\sim 17$

    $⋮$$\quad \quad \vdots$

    $b=11a=10$$b=11\quad a=10$

    $\therefore 17+15+13+\cdots +1$$\therefore~ 17+15+13+\cdots +1$

  • $c=19$$c=19$일 때,

    $b=18a=2\sim 17$$b=18\quad a=2\sim 17$

    $b=17a=3\sim 16$$b=17\quad a=3\sim 16$

    $⋮$$\quad \quad \vdots$

    $b=11a=9\sim 10$$b=11\quad a=9\sim 10$

    $\therefore 16+14+\cdots +2$$\therefore~ 16+14+\cdots +2$

  • $c=18$$c=18$

    혹시 $15+13+\cdots +1$$15+13+\cdots +1$일까?

    $b=17a=2\sim 16$$b=17\quad a=2\sim 16$

    $b=16a=3\sim 15$$b=16\quad a=3\sim 15$

    $⋮$$\quad \quad \vdots$

    $b=10b=9$$b=10\quad b=9$

    $\therefore 15+13+\cdots +3+1$$\therefore~ 15+13+\cdots +3+1$

    오호

  • $c=17$$c=17$

    $14+12+\cdots +4+2$$14+12+\cdots+ 4+2$이면 규칙을 찾은 것 같다.

    $b=16a=2\sim 15$$b=16\quad a=2\sim 15$

    $b=15a=3\sim 14$$b=15\quad a=3\sim 14$

    $⋮$$\quad \quad \vdots$

    $b=10a=8\sim 9$$b=10\quad a=8\sim 9$

    $\therefore 14+12+\cdots +4+2$$\therefore~ 14+12+\cdots +4+2$

  홀수와 짝수일 때의 경우로 나뉨을 알 수 있다.

• 규칙을 정리하자.

  • 홀수일 때,

    $\sum _{k=1}^9(2k-1)+\sum _{k=1}^8(2k-1)+\cdots +\sum _{k=1}^1(2k-1)$$\sum\limits_{ k=1}^9(2k-1)+\sum\limits_{ k=1}^8 (2k-1)+\cdots +\sum\limits_{ k=1}^1(2k-1)$

    이걸 조금 더 정리하면,

    $\begin{array}{rl}\sum _{n=1}^9(\sum _{k=1}^n(2k-1))& =\sum _{n=1}^9(2\cdot \frac{n(n+1)}{2}-n)\\ \\ & =\sum _{n=1}^9(n^2)\\ \\ & =\frac{9\cdot 10\cdot 19}{6}\\ \\ & =285\end{array}$$\begin{aligned} \sum\limits_{ n=1}^9 \Big(\sum\limits_{ k=1}^n (2k-1)\Big)&= \sum\limits_{ n=1}^9 \Big(2\cdot \cfrac {n(n+1)}2 -n\Big)\\ \\ &= \sum\limits_{ n=1}^9\Big(n^2\Big)\\ \\ &= \cfrac {9\cdot 10\cdot 19}{6}\\ \\ &= 285 \end{aligned}$

  • 짝수일 때,

    $\sum _{k=1}^{8}2k+\sum _{k=1}^7+\cdots +\sum _{k=1}^{1}2k$$\sum\limits_{ k=1}^8 2k +\sum\limits_{ k=1}^7+\cdots +\sum\limits_{ k=1}^1 2k$

    역시나 마찬가지로

    $\begin{array}{rl}\sum _{n=1}^8(\sum _{k=1}^{n}2k)& =\sum _{n=1}^8(n^2+n)\\ \\ & =\frac{8\cdot 9\cdot 17}{6}+\frac{8\cdot 9}{2}\\ \\ & =240\end{array}$$\begin{aligned} \sum\limits_{ n=1}^8 \Big(\sum\limits_{ k=1}^n 2k\Big) &= \sum\limits_{ n=1}^8 \big(n^2 +n\big)\\ \\ &= \cfrac {8\cdot 9\cdot 17}{6}+\cfrac {8\cdot 9}2\\ \\ &=240 \end{aligned}$

$\therefore 285+240=525$$\therefore~ 285+240=525$