2021학년도 09월 가형 29번

29. 흰 공 $4$$4$개와 검은 공 $6$$6$개를 상자 $A,B,C$$A,~B,~C$에 남김없이 나누어 넣을 때, 각 상자에 공이 $2$$2$개 이상씩 들어가도록 나누어 넣는 경우의 수를 구하시오. (단, 같은 색 공끼리는 서로 구별하지 않는다.)

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i. 정리

• $\{\begin{array}{l}w:4\\ \\ b:6\end{array}⟶A,B,C$$\begin{cases} w~:~4\\ \\ b~:~6\end{cases} \quad \longrightarrow \quad A,~B,~C\quad$각각 $2\uparrow$$2\uparrow$

ii. 생각

• 경우를 나누기에는 그나마 수가 적은 흰 공을 기준으로 하는 것이 그나마 낫지 않을까?

  • 첫번째

    	$A$$A$	$B$$B$	$C$$C$
    $w$$w$	$0$$0$	$0$$0$	$4$$4$
    $b$$b$	$2$$2$	$2$$2$

    $b$$b$ 의 남은 공 $2$$2$개는 $A,B,C$$A,~B,~C$ 에 나누어 넣으면 된다.

    물론 $w$$w$가 들어간 공의 경우가 $A,B,C$$A,~B,~C$가 가능하다.

    $\therefore 3{\times }_3{H}_2=18$$\therefore~ 3\times _3H_2=18$

  • 두번째

    	$A$$A$	$B$$B$	$C$$C$
    $w$$w$	$0$$0$	$1$$1$	$3$$3$
    $b$$b$	$2$$2$	$1$$1$

    $w$$w$를 나누어 넣는 경우의 수 $3!$$3!$

    $b$$b$를 조건에 맞춰 나누어 넣는 경우의 수 ${}_3{H}_3$$_3H_3$

    $\therefore 3!{\times }_3{H}_3=60$$\therefore~ 3!\times _3H_3=60$

  • 세번째

    	$A$$A$	$B$$B$	$C$$C$
    $w$$w$	$0$$0$	$2$$2$	$2$$2$
    $b$$b$	$2$$2$

    $w$$w$를 기준으로 $3$$3$

    $b$$b$를 기준으로 ${}_3{H}_4$${}_3H_4$

    $\therefore 3{\times }_3{H}_4=45$$\therefore~ 3\times_3H_4=45$

  • 네번째

    	$A$$A$	$B$$B$	$C$$C$
    $w$$w$	$1$$1$	$1$$1$	$2$$2$
    $b$$b$	$1$$1$	$1$$1$

    $w$$w$를 기준으로 $3$$3$

    $b$$b$를 기준으로 ${}_3{H}_4$${}_3H_4$

    $\therefore 3{\times }_3{H}_4=45$$\therefore~ 3\times _3H_4=45$

$\therefore 18+60+45+45=168$$\therefore~ 18+60+45+45=168$