2021학년도 09월 가형 19번

19. 집합 $X=\{1,2,3,4\}$$X=\{1,~2,~3,~4\}$의 공집합이 아닌 모든 부분집합 $15$$15$개 중에서 임의로 서로 다른 세 부분집합을 뽑아 임의로 일렬로 나열하고, 나열된 순서대로 $A,B,C$$A,~B,~C$라 할 때, $A\subset B\subset C$$A\subset B\subset C$일 확률을 구하시오.

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i. 생각

• 임의의 원소 $a,b,c,d$$a,~b,~c,~d$로 표현하고 가능한 경우를 생각해보자.

• 첫번째 수형도의 경우의 수를 구하자.

  • $a\to a,b\to a,b,c$$a\to a,~b\to a,~b,~c$의 경우

    $4\times 3\times 2=24$$4\times 3\times 2=24$

  • $a\to a,b\to a,b,c,d$$a\to a,~b\to a,~b,~c,~d$의 경우

    $4\times 3\times 1$$4\times 3\times 1$

  • $a\to a,b,c\to a,b,c,d$$a\to a,~b,~c\to a,~b,~c,~d$의 경우

    $4{\times }_3{C}_2\times 1$$4\times _3C_2 \times 1$

  $\therefore 24+12+12=48$$\therefore~ 24+12+12=48$

• 두번째 수형도이 경우의 수를 구하자.

  • $a,b\to a,b,c\to a,b,c,d$$a,~b\to a,~b,~c\to a,~b,~c,~d$

    ${}_4{C}_2\times 2\times 1$${}_4C_2 \times 2\times 1$

  $\therefore 12$$\therefore~ 12$

• 전체 경우의 수 : ${}_{15}{P}_3$${}_{15}P_3$

$\therefore \frac{48+12}{{}_{15}{P}_3}=\frac{2}{91}$$\therefore~ \cfrac {48+12}{{}_{15}P_3}=\cfrac 2{91}$