2020년 07월 가형 20번

20. 그림과 같이 원탁 위에 $1$$1$부터 $6$$6$까지 자연수가 하나씩 적혀 있는 $6$$6$개의 접시가 놓여 있고 같은 종류의 쿠키 $9$$9$개를 접시 위에 담으려고 한다. 한 개의 주사위를 던져 나온 눈의 수가 적혀 있는 접시와 그 접시에 이웃하는 양 옆의 접시 위에 $3$$3$개의 쿠키를 각각 $1$$1$개씩 담는 시행을 한다. 예를 들어, 주사위를 던져 나온 눈의 수가 $1$$1$인 경우 $6,1,2$$6,~1,~2$가 적혀 있는 접시 위에 쿠키를 각각 $1$$1$개씩 담는다. 이 시행을 $3$$3$번 반복하여 $9$$9$개의 쿠키를 모두 접시 위에 담을 때, $6$$6$개의 접시 위에 각각 한 개 이상의 쿠키가 담겨 있을 확률을 구하시오.

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i. 정리

• 쿠키 : 9개
• 주사위 눈 포함 좌우로 쿠키 한개씩
• 3번 반복

ii. 생각

• 아무래도 1개 2개 등등 하면서 따지는 건 좀 아니겠다.

• 여사건으로 될까?

  • 전체 경우
  • $1$$1$개의 접시에 쿠키가 없을 때,
  • $2$$2$개의 접시에 쿠키가 없을 때,
  • $3$$3$개의 접시에 쿠키가 없을 때,

  된다!된다! 된다!

• 전체의 경우 : $6^3$$6^3$

• 6 다음 수는 1로 정한다.

• $3$$3$개의 접시에 쿠키가 없을 때,

  • $3$$3$번 다 같은 수만 나오는 경우 : $6$$6$가지

  $\therefore 6$$\therefore~ 6$

• $2$$2$개의 접시에 쿠키가 없을 때,

  • 연속된 두 수만 나올 때,

    1. 연속된 두 수 $a,b(=a+1)$$a,~b(=a+1)$를 선택하는 경우 : $6$$6$

    2. 연속된 두 수를 $a,b$$a,~b$라 하면 : $(a,a,b),(a,b,b)$$(a,~a,~b),~(a,~b,~b)$를 나열하는 경우

    $\therefore 6\times (3+3)=36$$\therefore~ 6\times (3+3)=36$

  $\therefore 36$$\therefore~ 36$

• $1$$1$개의 접시에 쿠키가 없을 때,

  • 연속된 $3$$3$개의 수가 나올 때,

    1. $a,b(=a+1),c(=a+2)$$a,~b(=a+1),~c(=a+2)$를 선택하는 경우 : $6$$6$
    2. 이 수들이 나오는 순서 : $3!$$3!$

    $\therefore 6\times 3!=36$$\therefore~ 6\times 3!=36$

  • 연속된 수가 아닐 때,

    1. $a,b(=a+2)$$a,~b(=a+2)$를 선택하는 경우 : 6
    2. 이 눈이 나오는 경우 : $(a,a,b),(a,b,b)$$(a,~a,~b),~(a,~b,~b)$

    $\therefore 6\times (3+3)=36$$\therefore~ 6\times (3+3)=36$

  $\therefore 72$$\therefore~ 72$

$\therefore \frac{216-(6+36+72)}{216}=\frac{102}{216}=\frac{17}{36}$$\therefore~ \cfrac {216-(6+36+72)}{216}=\cfrac {102}{216}=\cfrac {17}{36}$