2020년 04월 가형 29번

29. 어느 학교 도서관에서 독서 프로그램 운영을 위해 철학, 사회 과학, 자연 과학, 문화, 역사 분야에 해당하는 책을 각 분야별로 $10$$10$권씩 총 $50$$50$권을 준비하였다. 한 학급에서 이 $50$$50$권의 책 중 $24$$24$권의 책을 선택하려고 할 때, 다음 조건을 만족 시키도록 선택하는 경우의 수를 구하시오. (단, 같은 분야의 해당하는 책은 서로 구별 하지 않는다.)

(가) 철학, 사회 과학, 자연 과학 각각의 분야에 해당하는 책은 $4$$4$권 이상씩 선택한다.

(나) 문학 분야에 해당하는 책은 선택하지 않거나 $4$$4$권 이상 선택한다.

(다) 역사 분야에 해당하는 책은 선택하지 않거나 $4$$4$권 이상 선택한다.

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i. 정리

• 문자로 정리하자.

  • $p$$p$ : 철학
  • $s:$$s:$ 사회과학
  • $n:$$n:$ 자연과학
  • $l:$$l:$ 문학
  • $h:$$h:$ 역사

  각 $10$$10$권씩

• $p,s,n\ge 4$$p,~s,~n\ge 4$

• $l,h$$l,~h$는 $0$$0$ 또는 $4$$4$이상

• $24$$24$권을 조합

ii. 생각

• $l=h=0$$l=h=0$
• $l=0,h\ge 4$$l=0,~h\ge 4$ 또는 $l\ge 4,h=0$$l\ge 4,~h=0$
• $l,h\ge 4$$l,~h\ge 4$

와...이걸 다 세야하네...

iii. 생각 2

• $l=h=0$$l=h=0$일 때,

  $p^{\prime }+s^{\prime }+n^{\prime }=12$$p'+s'+n'=12$

  $0\le p^{\prime },s^{\prime },n^{\prime }\le 6$$0\le p',~s',~n'\le 6$

  전체의 경우에서 $7$$7$이상의 근을 갖는 경우를 빼는 게 편할까?

  $7,8,9,\cdots ,12$$7,~8,~9,~\cdots ,~12$

  흠...좀 아닌 듯....

  그냥 경우의 수를 세자.

  $(0,6,6):3$$(0,~6,~6)~ : ~3$

  $(1,5,6):3!$$(1,~5,~6)~ :~ 3!$

  $(2,4,6):3!$$(2,~4,~6)~ :~3!$

  $(2,5,5):3$$(2,~5,~5) ~:~ 3$

  $(3,3,6):3$$(3,~3,~6)~:~3$

  $(3,4,5):3!$$(3,~4,~5)~:~3!$

  $(4,4,4):1$$(4,~4,~4)~:~1$

  $\therefore 28$$\therefore~ 28$

• $l\ge 4\mathrm{\&}h=0$$l\ge 4~ \&~h=0$ 또는 $l=0,\mathrm{\&}h\ge 4$$l=0,~\& ~h\ge 4$

  • 한 경우만 구한 후 $2$$2$배하면 되곘다.

  • $l\ge 4,h=0$$l\ge 4,~h=0$

    $p^{\prime }+s^{\prime }+n^{\prime }+l^{\prime }=8$$p'+s'+n'+l'=8$

    $p^{\prime },s^{\prime },n^{\prime },l^{\prime }\le 6$$p',~s',~n',~l'\le 6$

    와.....욕나온다...이게 수학이냐 산수지...

    $(0,0,2,6):\frac{4!}{2!}$$(0,~0,~2,~6)~:~\cfrac {4!}{2!}$

    $(0,0,3,5):\frac{4!}{2!}$$(0,~0,~3,~5)~:~\cfrac {4!}{2!}$

    $(0,0,4,4):\frac{4!}{2!2!}$$(0,~0,~4,~4)~:~\cfrac{4!}{2!2!}$

    $(0,1,1,6):\frac{4!}{2!}$$(0,~1,~1,~6)~:~\cfrac {4!}{2!}$

    $(0,1,2,5):4!$$(0,~1,~2,~5)~:~ 4!$

    $(0,1,3,4):4!$$(0,~1,~3,~4)~:~4!$

    $(0,2,2,4):\frac{4!}{2!}$$(0,~2,~2,~4)~:~\cfrac {4!}{2!}$

    $(0,2,3,3):\frac{4!}{2!}$$(0,~2,~3,~3)~:~\cfrac {4!}{2!}$

    $(1,1,1,5):\frac{4!}{3!}$$(1,~1,~1,~5)~:~\cfrac {4!}{3!}$

    $(1,1,2,4):\frac{4!}{2!}$$(1,~1,~2,~4)~:~\cfrac {4!}{2!}$

    $(1,1,3,3):\frac{4!}{2!2!}$$(1,~1,~3,~3)~:~\cfrac {4!}{2!2!}$

    $(1,2,2,3):\frac{4!}{2!}$$(1,~2,~2,~3)~:~\cfrac {4!}{2!}$

    $(2,2,2,2):1$$(2,~2,~2,~2)~:~1$

    $\therefore 149$$\therefore~ 149$

  $\therefore 149\times 2=298$$\therefore~ 149\times 2=298$

• $l,h\ge 4$$l,~h\ge 4$

  • $p^{\prime }+s^{\prime }+n^{\prime }+l^{\prime }+h^{\prime }=4$$p'+s'+n'+l'+h'=4$

    와...신난다..어느 하나도 $6$$6$보다 클 수 없다!!

    ${}_5{H}_4=70$${}_5H_4=70$

$\therefore 28+298+70=396$$\therefore~ 28+298+70=396$