2020년 03월 가형 27번

27. 그림과 같이 합동인 $9$$9$개의 정사각형으로 이루어진 색칠판이 있다.

빨간색과 파란색을 포함하여 총 $9$$9$가지의 서로 다른 색으로 이 색칠판을 다음 조건을 만족시키도록 칠하려고 한다.

(가) 주어진 $9$$9$가지의 색을 모두 사용하여 칠한다.

(나) 한 정사각형에는 한 가지 색만을 칠한다.

(다) 빨간색과 파란색이 칠해진 두 정사각형은 꼭짓점을 공유하지 않는다.

색칠판을 칠하는 경우의 수는 $k\times 7!$$k\times 7!$이다. $k$$k$의 값을 구하시오. (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.)

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i. 생각

• 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다. 제길

  그럼 하나를 고정시키고 접근하면 되겠지 뭐.

  아마 단순히 $(n-1)!$$(n-1)!$으로 외웠다면 바보만드는 문제네

• 이제 경우를 보도록 하자.

  • 경우 1

    

    $5$$5$가지의 방법으로 칠할 수 있고, 빨간색을 칠한 정사각형을 기준으로 회전시키면,

    

  • 경우 2

    

    $3$$3$가지 방법이 가능하고, 마찬가지로 회전시키면

    

  • 경우 3

    

    없다!

  오...빨간색으로 칠한 정사각형의 모든 경우가 포함되었다.

$\therefore 5\times 7!+3\times 7!=8!$$\therefore~ 5\times 7!+3\times 7!=8!$

$\therefore k=8$$\therefore~ k=8$