2021학년도 06월 가형 29번

29. 검은색 볼펜 $1$$1$ 자루, 파란색 볼펜 $4$$4$자루, 빨간색 볼펜 $4$$4$자루가 있다. 이 $9$$9$자루의 볼펜 중에서 $5$$5$자루를 선택하여 $2$$2$명의 학생에게 남김없이 나누어 주는 경우의 수를 구하시오. (단, 같은 색 볼펜끼리는 서로 구별하지 않고, 볼펜을 $1$$1$ 자루도 받지 못하는 학생이 있을 수 있다.)

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i. 생각

• $\{\begin{array}{l}a=1\\ \\ b=4\\ \\ c=4\end{array}⟶5\text{선택}⟶2\text{명}$$\begin{cases} a=1\\ \\ b=4\\ \\ c=4\end{cases} \quad \longrightarrow \quad 5\text{선택}\quad \longrightarrow \quad 2\text{명}$

• 순서대로 접근하다가는 조온내 복잡할 거 같다. 반대로 생각하자.

• 시작

  1. $A,B$$A,~B$가 받는 경우의 수

     $A$$A$	$B$$B$
     $0$$0$	$5$$5$
     $1$$1$	$4$$4$
     $2$$2$	$3$$3$
     $3$$3$	$2$$2$
     $4$$4$	$1$$1$
     $5$$5$	$0$$0$

     다행히 $(0,5),(1,4),(2,3)$$(0,5),~(1,~4),~(2,~3)$의 경우의 수만 구한 후에 $2$$2$배하면 되곘다.

  2. $(0,5)$$(0,~5)$의 경우

     i. $a=1$$a=1$이 포함되는 경우

     $b+c=4$$b+c=4$

     $\therefore {}_2{H}_4=5$$\therefore~ {}_2H_4=5$

     ii. $a$$a$가 포함되지 않는 경우

     $b+c=5$$b+c=5$

     전체에서 $5$$5$를 근으로 하는 $(0,5),(5,0)$$(0,~5),~(5,~0)$ 이 두가지를 빼면 되겠다.

     ${}_2{H}_5=6$${}_2H_5=6$

     $\therefore 6-2=4$$\therefore~ 6-2=4$

     $\therefore 5+4=9$$\therefore~ 5+4=9$

  3. $(1,4)$$(1,~4)$의 경우

     i. $a,b$$a,~b$의 조합

     $a$$a$를 $A$$A$에게 또는 $B$$B$에게

     $\therefore 2$$\therefore~ 2$

     ii. $a,c$$a,~c$의 조합

     $\therefore 2$$\therefore~ 2$

     iii. $a,b,c$$a,~b,~c$의 조합

     $A$$A$에게 $a,b,c$$a,~b,~c$ 이렇게 $3$$3$가지가 가능하고

     $(a,b,c)$$(a,~b,~c)$의 순서쌍은 $(1,1,3),(1,2,2),(1,3,1)$$(1,~1,~3),~(1,~2,~2),~(1,~3,~1)$

     $\therefore 3\times 3=9$$\therefore~ 3\times 3=9$

     iv. $b,c$$b,~c$의 조합

     $b^{\prime }+c^{\prime }=3$$b'+c'=3$

     그리고 $A$$A$에게 $b$$b$ 또는 $c$$c$를 주는 경우

     $\therefore {}_2{H}_3\times 2=4\times 2=8$$\therefore~ _2H_3 \times 2=4\times 2=8$

     $\therefore 2+2+9+8=21$$\therefore~ 2+2+9+8=21$

  4. $(2,3)$$(2,~3)$인 경우

     i. $a,b$$a,~b$의 조합

     $a$$a$를 $A$$A$ 또는 $B$$B$에게 주는 경우

     $\therefore 2$$\therefore~ 2$

     ii. $a,c$$a,~c$의 조합

     위와 마찬가지로

     $\therefore 2$$\therefore~ 2$

     iii. $a,b,c$$a,~b,~c$의 조합

     $A$$A$가 받을 수 있는 공의 조합 : $ab,ac,bb,cc,bc$$ab,~ac,~bb,~cc,~bc$

     • $ab$$ab$

       $(b,c)$$(b,~c)$의 조합 : $(1,3),(2,2),(3,1)$$(1,~3),~(2,~2),~(3,~1)$

     • $ac$$ac$

       $ab$$ab$와 마찬가지로 $3$$3$가지

     • $bb$$bb$

       $(b,c)$$(b,~c)$의 조합 $(2,2),(3,1)$$(2,~2),~(3,~1)$

     • $cc$$cc$

       마찬가지로 $2$$2$가지

     • $bc$$bc$

       $(b,c)$$(b,~c)$의 조합 : $(1,3),(2,2),(3,1)$$(1,3),~(2,~2),~(3,~1)$

     $\therefore 3+3+2+2+3=13$$\therefore~ 3+3+2+2+3=13$

     iv. $b,c$$b,~c$의 조합

     $A$$A$가 받을 수 있는 공의 조합 : $bb,bc,cc$$bb,~bc,~cc$

     • $bb$$bb$의 경우

       $(b,c)$$(b,~c)$의 조합 : $(2,3),(3,2),(4,1)$$(2,~3),~(3,~2),~(4,~1)$

     • $cc$$cc$의 경우

       동일하므로 $3$$3$가지

     • $bc$$bc$의 경우

       $(b,c)$$(b,~c)$의 조합 : $(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)$$(1,~4),~(2,~3),~(3,~2),~(4,~1)$

     $\therefore 10$$\therefore~ 10$

     $\therefore 2+2+13+10=27$$\therefore~ 2+2+13+10=27$

$\therefore (9+21+27)\times 2=57\times 2=114$$\therefore~ (9+21+27)\times 2=57\times 2=114$