2021학년도 11월 나형 29번

29. 숫자 $3,3,4,4,4$$3,~3,~4,~4,~4$가 하나씩 적힌 $5$$5$개의 공이 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니와 한 개의 주사위를 사용하여 다음 규칙에 따라 점수를 얻는 실행을 한다.

주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼내어 꺼낸 공에 적힌 수가 $3$$3$ 이면 주사위를 세 번 던져서 나오는 세 눈의 수의 합을 점수로 하고 꺼낸 공에 적힌 수가 $4$$4$이면 주사위를 네 번 던져서 나오는 네 눈의 수의 합을 점수로 한다.

이 시행을 한 번하여 얻은 점수가 10점일 확률은 $\frac{q}{p}$$\cfrac qp$이다. $p+q$$p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$$p$와 $q$$q$는 서로소인 자연수이다.)

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i. 생각

• 꺼낸 공의 수가 $3,4$$3,~4$일 때로 나뉜다. 그에 따라 주사위를 던져 점수를 계산한다.

• 당연히 경우를 나눠야겠다.

  • $3$$3$이 나왔을 때, (확률은 $\frac{2}{5}$$\cfrac 25$)

    $(1,3,6)$$(1,~3,~6)$일 때 나올 수 있는 순서의 개수 : $3!$$3!$

    $(1,4,5)$$(1,~4,~5)$일 때 나올 수 있는 순서의 개수 : $3!$$3!$

    $(2,2,6)$$(2,~2,~6)$일 때 나올 수 있는 순서의 개수 : $3$$3$

    $(2,3,5)$$(2,~3,~5)$일 때 나올 수 있는 순서의 개수 : $3!$$3!$

    $(2,4,4)$$(2,~4,~4)$일 때 나올 수 있는 순서의 개수 : $3$$3$

    $(3,3,4)$$(3,~3,~4)$일 때 나올 수 있는 순서의 개수 : $3$$3$

     

    $\therefore \frac{2}{5}\times \frac{3!+3!+3+3!+3+3}{6^3}=\frac{1}{20}$$\therefore~ \cfrac 25\times \cfrac {3!+3!+3+3!+3+3}{6^3}=\cfrac 1{20}$

  • $4$$4$가 나왔을 때, (확률은 $\frac{3}{5}$$\cfrac 35$)

    $\therefore \frac{3}{5}\times \frac{12+12+6+12+24+4+4+6}{6^4}=\frac{1}{27}$$\therefore~ \cfrac 35 \times \cfrac {12+12+6+12+24+4+4+6}{6^4} =\cfrac 1{27}$

$\therefore \frac{1}{20}+\frac{1}{27}=\frac{47}{540}$$\therefore~ \cfrac 1{20}+\cfrac 1{27}=\cfrac {47}{540}$

$\therefore p+q=587$$\therefore~ p+q=587$