2020년 10월 나형 29번

29. $A,B$$A,~B$ 두 사람이 각각 $4$$4$개씩 공을 가지고 다음 시행을 한다.

$A,B$$A,~B$ 두사람이 주사위를 한 번씩 던져 나온 눈의 수가 짝수인 사람은 상대방으로부터 공을 한 개 받는다.

각 시행 후 $A$$A$가 가진 공의 개수를 세었을 때, $4$$4$번째 시행 후 센 공의 개수가 처음으로 $6$$6$이 될 확률은 $\frac{q}{p}$$\cfrac qp$이다. $p+q$$p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$$p$와 $q$$q$는 서로소인 자연수이다.)

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i. 생각

• 비기는 경우가 없을 때,

  $A$$A$ 가 이기는 횟수를 $a$$a$라 하면 지는 횟수는 $4-a$$4-a$이다.

  $4+(a)-(4-a)=6$$4+(a)-(4-a)=6$

  $a=3$$a=3$

  $WLWW,LWWW$$WLWW,~LWWW$

  $A$$A$가 이길 확률 : $\frac{1}{4}$$\cfrac 14$

  $A$$A$가 질 확률 : $\frac{1}{4}$$\cfrac 14$

  $\therefore (\frac{1}{4}{)}^4\times 2$$\therefore~ \Big(\cfrac 14\Big)^4 \times 2$

• 비기는 경우가 있을 때,

  • 비기는 경우 $1$$1$번

    $4+a-(3-a)=6$$4+a-(3-a)=6$

    불가능

  • 비기는 경우 $2$$2$번

    $4+a-(2-a)=6$$4+a-(2-a)=6$

    $a=2$$a=2$

    $◯◯aa,◯a◯a,a◯◯a$$\bigcirc\bigcirc aa, ~\bigcirc a\bigcirc a,~a\bigcirc \bigcirc a$

    $A$$A$가 비기는 확률 : $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$\cfrac 12\cdot \cfrac 12 +\cfrac 12\cdot \cfrac 12 =\cfrac 12$

    $\therefore (\frac{1}{2}{)}^2(\frac{1}{4}{)}^2\times 3$$\therefore~ \Big(\cfrac 12\Big)^2 \Big(\cfrac 14\Big)^2 \times 3$

$\therefore \frac{2+12}{4^4}=\frac{7}{128}$$\therefore~ \cfrac {2+12}{4^4} =\cfrac {7}{128}$

$\therefore 135$$\therefore~ 135$