2021학년도 06월 나형 29번

29. 집합 $A=\{1,2,3,4\}$$A=\{1,~2,~3,~4\}$에 대하여 $A$$A$에서 $A$$A$로의 모든 함수 $f$$f$ 중에서 임의로 하나를 선택할 때, 이 함수가 다음 조건을 만족시킬 확률은 $p$$p$이다. $120p$$120p$의 값을 구하시오.

(가) $f(1)\times f(2)\ge 9$$f(1)\times f(2)\ge 9$

(나) 함수의 $f$$f$의 치역의 원소의 개수는 $3$$3$이다.

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i. 생각

• 전체 경우의 수 : $4^4$$4^4$

• 원소의 개수 $3$$3$개 중에서 곱해서 $9$$9$이상이 나오는 경우를 생각하자.

  • $f(1)\ne f(2)$$f(1)\neq f(2)$

    • $\{2,3,4\}$$\{2,~3,~4\}$

      $f(1)$$f(1)$과 $f(2)$$f(2)$가 $\{3,4\}$$\{3,~4\}$로 가면 된다.

      $\therefore 2\times {(}_2{C}_1\times 3-1)=10$$\therefore~ 2\times (_2C_1\times 3 -1)=10$

      정의역 $\{3,4\}$$\{3,~4\}$ 둘 중의 하나는 $\{2\}$$\{2\}$로 가는 경우에서 $f(3)=f(4)=2$$f(3)=f(4)=2$가 중복이므로 $1$$1$을 뺀다.

    • $\{1,3,4\}$$\{1,~3,~4\}$

      위와 마찬가지의 경우이므로

      $\therefore 10$$\therefore~ 10$

  • $f(1)=f(2)$$f(1)=f(2)$인 경우

    • $f(1)=f(2)=3$$f(1)=f(2)=3$인 경우

      $\{1,2,4\}$$\{1,~2,~4\}$의 원소중 $2$$2$개를 택해서 $f(3)$$f(3)$과 $f(4)$$f(4)$에 배정하면 된다.

      $\therefore {}_3{C}_2\times 2!=6$$\therefore~ {}_3C_2\times 2!=6$

    • $f(1)=f(2)=4$$f(1)=f(2)=4$인 경우

      위와 마찬가지로

      $\therefore 6$$\therefore~ 6$

• $p$$p$를 구하자.

  $\frac{32}{4^4}=\frac{8}{4^3}=\frac{2}{4^2}=\frac{1}{8}$$\cfrac {32}{4^4}=\cfrac 8{4^3} =\cfrac 2{4^2}=\cfrac 18$

$\therefore 120p=15$$\therefore~ 120p=15$