2020년 07월 가형 28번

28. 집합 $X=\{1,2,3,4,5,6\}$$X=\{1,~2,~3,~4,~5,~6\}$에 대한 함수 $f:X\to X$$f:X\to X$ 중에서 다음 조건을 만족시키는 함수 $f$$f$의 개수를 구하시오.

(가) $f(3)\times f(6)$$f(3)\times f(6)$은 $3$$3$의 배수이다.

(나) 집합 $X$$X$의 임의의 두 원소 $x_1,x_2$$x_1,~x_2$에 대하여 $x_1<x_2$$x_1<x_2$이면 $f(x_1)\le f(x_2)$$f(x_1)\le f(x_2)$이다.

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i. 생각

• $A:f(3)$$A~:~f(3)$이 $3$$3$의 배수인 함수 $f$$f$의 집합
• $B:f(6)$$B~:~f(6)$이 $3$$3$의 배수인 함수 $f$$f$의 집합
• $n(A\cup B)$$n(A\cup B)$를 구하자.

ii. 계산

• $n(A)$$n(A)$를 구하자.

  • $f(3)=3$$f(3)=3$일 때,

    ${}_3{H}_2{\times }_4{H}_3=120$${}_3H_2\times _4H_3=120$

  • $f(3)=6$$f(3)=6$dlf Eo,

    ${}_6{H}_2\times 1=21$${}_6H_2\times 1=21$

  $\therefore n(A)=141$$\therefore~ n(A)=141$

• $n(B)$$n(B)$를 구하자.

  • $f(6)=3$$f(6)=3$일 때,

    ${}_3{H}_5=21$${}_3H_5=21$

  • $f(6)=6$$f(6)=6$일 때,

    ${}_6{H}_5=252$${}_6H_5=252$

  $\therefore 21+252=273$$\therefore~ 21+252=273$

• $n(A\cap B)$$n(A\cap B)$를 구하자.

  • $f(3)=f(6)=3$$f(3)=f(6)=3$일 때,

    ${}_3{H}_2=6$${}_3H_2=6$

  • $f(3)=3,f(6)=3$$f(3)=3,~f(6)=3$일 때,

    ${}_3{H}_2{\times }_4{H}_2=60$${}_3H_2\times_4H_2=60$

  • $f(3)=f(6)=6$$f(3)=f(6)=6$

    ${}_6{H}_2=21$${}_6H_2=21$

  $\therefore 87$$\therefore~ 87$

$\therefore n(A\cup B)=141+273-87=327$$\therefore~ n(A\cup B)=141+273-87=327$