2020학년도 06월 가형 27번

27. 숫자 $1,1,2,2,3,3$$1,~1,~2,~2,~3,~3$이 하나씩 적혀 있는 $6$$6$개의 공이 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 한 개의 공을 임의로 꺼내어 공에 적힌 수를 확인한 후 다시 넣지 않는다. 이와 같은 시행을 $6$$6$번 반복할 때, $k(1\le k\le 6)$$k(1\le k\le 6)$번째 꺼낸 공에 적힌 수를 $a_n$$a_n$라 하자. 두 자연수 $m,n$$m,~n$을

$$\begin{array}{c}m=a_1\times 100+a_2\times 10+a_3\\ n=a_4\times 100+a_5\times 10+a_6\end{array}$$

이라 할 때, $m>n$$m>n$일 확률은 $\frac{q}{p}$$\cfrac qp$이다. $p+q$$p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$$p$와 $q$$q$는 서로소인 자연수이다.)

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i. 생각

• 전체의 경우 : $\frac{6!}{2!2!2!}=90$$\cfrac {6!}{2!2!2!} =90$

• 대소비교를 어떻게 할까?

  • 백의 자리에서 판정

  • 십의 자리에서 판정

  • 일의 자리에서 판정

  이러면 되겠다.

ii. 경우

• 백의 자리에서 판정

  • $a_1=3⟶a_4=1,2$$a_1=3\quad \longrightarrow \quad a_4=1,~2$

    $\begin{array}{c}(3,◯,◯,\{\begin{array}{l}2\\ \\ 1\end{array},◯,◯)\end{array}$$(3,~\bigcirc,~\bigcirc,~\begin{cases} 2\\ \\ 1\end{cases} ,~\bigcirc,~\bigcirc)$

    $\frac{4!}{2!}\times 2$$\cfrac {4!}{2!}\times 2$

  • $a_1=2⟶a_4=1$$a_1=2\quad \longrightarrow \quad a_4=1$

    $(2,◯,◯,1,◯,◯)$$(2, \bigcirc,~\bigcirc,~1,~\bigcirc,~\bigcirc)$

    $\frac{4!}{2!}$$\cfrac {4!}{2!}$

  $\therefore \frac{4!}{2!}\times 3$$\therefore~ \cfrac {4!}{2!}\times 3$

• 십의 자리에서 판정

  • $a_2=3⟶a_5=1,2$$a_2=3\quad\longrightarrow \quad a_5=1,~2$

    $\begin{array}{c}(a,3,◯,a,\{\begin{array}{l}1\\ \\ 2\end{array},◯)\end{array}$$(a,~3,~\bigcirc,~a,~\begin{cases} 1\\ \\ 2 \end{cases} ,~\bigcirc )$

    $a=1$$a=1$이면 $a_5=2$$a_5=2$이고 $2!$$2!$

    $a=2$$a=2$이면 $a_5=1$$a_5=1$이고 $2!$$2!$

  • $a_2=2⟶a_5=1$$a_2=2\quad \longrightarrow \quad a_5=1$

    위와 마찬가지로 $2!$$2!$

  $\therefore 2!\times 3$$\therefore~ 2!\times 3$

• 일의 자리에서 판정

  불가능하다!!

$\therefore \frac{36+6}{90}=\frac{7}{15}$$\therefore~ \cfrac {36+6}{90}=\cfrac {7}{15}$

$\therefore p+q=22$$\therefore~ p+q=22$