2019년 04월 가형 28번

28. 할아버지, 할머니, 아버지, 어머니, 아이로 구성된 $5$$5$명의 가족이 영화를 보려고 한다. 영화관의 좌석은 그림과 같이 $A,B$$A,~B$ 두개의 열로 이루어져 있고, 각 열에는 $5$$5$개의 좌석이 있다.

$A$$A$열에는 할머니와 할아버지가 이웃하여 않고, $B$$B$열에는 아버지, 어머니, 아이가 앉되 아이는 아버지 또는 어머니와 이웃하고, 아이의 바로 앞에 있는 좌석은 비어 있도록 한다.

이때, $5$$5$명이 모두 좌석에 앉는 경우의 수를 구하시오. (단, $2$$2$명이 같은 열의 바로 옆에 앉을 때만 이웃한 것으로 본다. 또한 한 좌석에는 한 명만 앉고, 다른 관람객은 없다.)

---

i. 생각

• 어떤 경우로 나누는 것이 좀 더 편할까?

  $A$$A$열 부터? $⟶$$\longrightarrow$ 아무래도 뒷자석에 아이가 앉는 경우를 생각해야 하니 복잡하다?

  $B$$B$열 부터?

• $B$$B$열부터 정하도록 하자.

  당연히 부모보다 아이를 기준으로 생각하는 것이겠다?

• 아이가 양 끝에 앉을 때,

  $◯◯◯◯◯$$\bigcirc\bigcirc\bigcirc\bigcirc\bigcirc$

  $V◯◯◯◯$$V\bigcirc\bigcirc\bigcirc\bigcirc$

   

  $A$$A$열 : $3\times 2!$$3\times 2!$

  $B$$B$열 : ${}_2{C}_1\times 3$${}_2C_1 \times 3$

  그리고 양끝이니까

  $\therefore (3\times 2!)\times {(}_2{C}_1\times 3)\times 2=72$$\therefore~ (3\times 2!)\times (_2C_1\times 3) \times 2 =72$

• 아이가 왼쪽에서 $2$$2$번째, $4$$4$번째

  $◯◯◯◯◯$$\bigcirc\bigcirc\bigcirc\bigcirc\bigcirc$

  $◯V◯◯◯$$\bigcirc V\bigcirc\bigcirc\bigcirc$

   

  $A$$A$열 : $2\times 2!$$2\times 2!$

  $B$$B$열

  • 부모가 중 한 명만 옆에 앉는 경우

    ${}_2{C}_1\times 2\times 2$${}_2C_1\times 2\times 2$

    양 옆 중의 한 자리를 선택하고, 부모 중 누가 앉을 지를 결정하고, 나머지 부모가 앉는 경우

  • 부모가 양 옆에 앉는 경우

    $2$$2$

  $\therefore (2\times 2!)\times {(}_2{C}_1\times 2\times 2+2)\times 2$$\therefore~ (2\times 2! )\times (_2C_1\times 2\times 2 +2)\times 2$

• 아이가 가운데 앉는 경우

  $◯◯◯◯◯$$\bigcirc\bigcirc\bigcirc\bigcirc\bigcirc$

  $◯◯V◯◯$$\bigcirc\bigcirc V\bigcirc\bigcirc$

   

  $A$$A$열 : $2\times 2!$$2\times 2!$

  $B$$B$열

  • 부모 중 한 명만 옆에 앉는 경우

    ${}_2{C}_1\times 2\times 2$${}_2C_1\times 2\times2$

  • 부모가 양 옆에 앉는 경우

    $2!$$2!$

  $\therefore (2\times 2)\times {(}_2{C}_1\times 2\times 2+2!)$$\therefore~ (2\times 2)\times (_2C_1\times 2\times2+2!)$

$\therefore 72+80+40=192$$\therefore~ 72+80+40=192$