2019학년도 11월 나형 28번

28. 숫자 $1,2,3,4$$1,~2,~3,~4$가 하나씩 적혀 있는 흰 공 $4$$4$개와 숫자 $4,5,6$$4,~5,~6$이 적혀 있는 검은 공 $3$$3$개가 있다. 이 $7$$7$개의 공을 임의로 일렬로 나열할 때, 같은 숫자가 적혀 있는 공이 서로 이웃하지 않게 나열될 확률은 $\frac{q}{p}$$\cfrac qp$이다. $p+q$$p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$$p$와 $q$$q$는 서로소인 자연수이다.)

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i. 생각

• 전체 경우의 수 : $7!$$7!$

• 같은 숫자 : $4$$4$

  $◻◻◻◻◻$$\square\quad \square\quad \square\quad \square\quad \square$

  $5$$5$개의 숫자를 위의 사각형 자리에 배열한 후,

  빈 자리에 각각 공 한개씩 넣으면 끝

  $5!{\times }_6{P}_2$$5!\times _6P_2$

$\therefore \frac{5!{\times }_6{P}_2}{7!}=\frac{5}{7}$$\therefore~ \cfrac {5!\times _6P_2}{7!}=\cfrac 57$

$\therefore p+q=12$$\therefore~ p+q=12$